Supongamos que tengo un $C^1$ involucración $f: S^1 \rightarrow S^3$. Desde el punto de vista de nudo de la teoría, ¿cuál es la "mejor" manera de obtener un $C^\infty$ curva que "se parece a" o es "equivalente a" $f$? Por ejemplo, uno de los más fuertes las cosas que puedo pensar para tratar de demostrar es que existe una $C^1$ isotopía, H, de $S^3$ que se lleva a $f$ $C^\infty$ involucración y tal que $H_t (f(S^1))= f(S^1)$ para todas las épocas $t$ (de modo que la isotopía no mover la imagen de $f$ fuera de sí mismo). Pero yo sería feliz con los más débiles resultados. También en el riesgo de pedir dos preguntas que voy a decir que yo estaría encantado de aprender de cualquier particular, libros o notas que tratan con muy técnico y fundamental nudo de la teoría de preguntas como esta. Gracias por leer mi pregunta,
Respuesta
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En general es imposible seguir el $H_t(f(S^1))=f(S^1)$. Esto es porque la imagen de $S^1$ bajo $C^1$ incrustación es sólo un $C^1$ colector en general, mientras que la imagen bajo una $C^\infty$ incrustación es un $C^\infty$ colector. Para un ejemplo concreto, la curva de $y=x\sqrt{|x|}$ $xy$- plano es la imagen de $\mathbb R$ bajo $C^1$-incrustación $x\mapsto (x,x\sqrt{|x|})$. Desde su curvatura golpes en $(0,0)$, no puede ser la imagen de $\mathbb R^2$ bajo $C^2$-incrustación.
Pero usted puede construir un isotópica $C^\infty$ nudo arbitrariamente cerca de la original, mediante la convolución con una superficie lisa y compacta compatible mollifier. Fix $\delta>0 $ de manera tal que los valores de $f'/|f'|$ no difieren en más de $1/10$ dentro de cualquier intervalo de longitud de $\delta$. Para $\epsilon>0$ deje $f_\epsilon=f*\varphi_\epsilon$ donde $\varphi_\epsilon$ es un mollifier con el apoyo de tamaño $\epsilon$. Al $\epsilon<\delta$, la derivada de $f_\epsilon$,$f'*\varphi_\epsilon$, no desaparecen: no hay ningún sustancial de la cancelación de la integral, debido a que la derivada del vector de puntos esencialmente en la misma dirección. Por un argumento similar, $f_\epsilon(a)\ne f_\varepsilon(b)$ al$\epsilon<\delta/2$$|a-b|<\delta/2$.
Por último, vamos a $\sigma=\inf\{|f(a)-f(b)|:|a-b|\ge \delta/2\}$. Por lo suficientemente pequeño $\epsilon $ tenemos $\max |f_\epsilon-f|<\sigma/2$, lo que implica que $f_\epsilon(a)\ne f_\epsilon(b)$ siempre $|a-b|\ge \delta/2$. Esto completa la prueba.
