Producto directo de anillos de polinomios

Question

Dejemos que $n = pq$ , donde $p$ y $q$ son primos distintos. Estoy tratando de demostrar que: $$\mathbb{Z}_n[X] \cong \mathbb{Z}_p[X] \times \mathbb{Z}_q[X].$$

¿Basta con decir que $\rho(np) = \rho(n)\rho(p)$ ?

No estoy seguro de cómo configurar la prueba, por lo que se agradecería cualquier ayuda.

Gracias.

Answer 1

Consejos :

1. Asegúrate de entender por qué para los números primos distintos $p$ y $q$ , $\mathbb{Z}/pq \mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$ .

2. Trata de mostrar de forma más general que si por unos anillos $A,B,C$ tienes $A \cong B \times C$ entonces $A[x] \cong B[x] \times C[x]$ . Esto debería ayudar a centrar sus esfuerzos. El isomorfismo real es casi obvio cuando se escribe todo y se piensa un poco.

Answer 2

Sugerencia: Buscar mapas $\mathbb Z[X]\to Z_m[X]$ y $\mathbb Z[x]\to Z_p[X]\times Z_q[X]$ . Demuestre que estos dos mapas tienen el mismo núcleo y son onto. Por lo tanto los dos rangos son isomorfos.