Lo que me estoy perdiendo acerca de Schur funciones?

Question

Digamos que yo solo saber lo siguiente acerca de Schur funciones: me puede dar una partición de $\lambda$ $d$ tal que $\lambda$ $n$ partes $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$, y puedo calcular la función de Schur $s_\lambda$. Esta función $s_\lambda$ es una función de $n$ variables$x_1,x_2,\ldots,x_n$, y se calcula por la fórmula que me encuentro en la Wikipedia:

$$s_\lambda(x_1,\ldots,x_n) = \frac{\det\begin{pmatrix} x_1^{\lambda_1+n-1} & x_2^{\lambda_1+n-1} & \cdots & x_n^{\lambda_1+n-1} \\ x_1^{\lambda_2+n-2} & x_2^{\lambda_2+n-2} & \cdots & x_n^{\lambda_2+n-2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_1^{\lambda_n} & x_2^{\lambda_n} & \cdots & x_n^{\lambda_n} \end{pmatrix}}{\det\begin{pmatrix} x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \\ x_1^{n-2} & x_2^{n-2} & \cdots & x_n^{n-2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 1 & \cdots & 1 \end{pmatrix}}$$ Por ejemplo, si $\lambda = (2,2)$, (así, por encima de $n=2$, $d = 4$, y $\lambda_1=\lambda_2=2$), puedo calcular $$s_{(2,2)}(x_1,x_2) = \frac{\det\begin{pmatrix} x_1^3 & x_2^3 \\ x_1^2 & x_2^2\end{pmatrix}}{\det\begin{pmatrix} x_1 & x_2 \\ 1 & 1\end{pmatrix}} = x_1^2x_2^2$$

Ahora alguien viene y me enseña la Jacobi-Trudi fórmula: si $\lambda = (\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n)$ $e_i$ $i$th primaria polinomio simétrico (en algunas variables que son parte de mi problema), me puede calcular el $s_\lambda$ $$s_\lambda = \det(e_{\lambda_i'+j-i})$$ donde $\lambda_i'$ $i$th parte de la conjugación de la partición. Si puedo aplicar esta fórmula a mi ejemplo anterior, tengo (de nuevo, tenga en cuenta que estoy resistiendo en las variables) $$s_{(2,2)} = \det\begin{pmatrix}e_2 & e_3 \\ e_1 & e_2\end{pmatrix} = e_2^2-e_1e_3$$ Aquí está mi problema: Esta última expresión se requiere de al menos tres variables. ¿Qué es la convención que me estoy perdiendo? ¿Cómo puedo aplicar correctamente los Jacobi-Trudi fórmula? En general, creo que debe ser capaz de evaluar $s_\lambda(x_1,\ldots,x_n)$ $n$ mayor que o igual a la cantidad de piezas de $\lambda$, y no veo cómo esto es posible.

Nota: Si se utilizan tres variables, $x_1,x_2,x_3$ y el uso de la Jacobi-Trudi fórmula para la partición (2,2,0), todo tiene sentido y $$s_{(2,2,0)}(x_1,x_2,0)=x_1^2x_2^2$$

Answer 1

Con el fin de ver la "correcta" de la conducta de la Schur polinomios y para poder comparar los diferentes fórmulas para el Schur polinomios, el número de variables que usted necesita es igual al número total de cajas en la partición (el valor de $d$, en la Wikipedia notation), no sólo el número de (distinto de cero) de las piezas en la partición. Trate de tomar $n=d=4$ en los dos fórmulas anteriores (con la partición de $\lambda$ extendido con ceros); usted debe encontrar que están de acuerdo.

El artículo de la Wikipedia alude a ello con esta definición de Schur polinomios: $$s_\lambda = \sum_T x^T$$ where $T$ is a semistandard Young tableau. A semistandard Young tableau fills the boxes of the partition with positive integers from 1 through $n$ such that rows are nondecreasing and columns are (strictly) increasing. If $t_i$ is the number of occurrences of the value $i$ in the tableau, then the term $x^T = \prod x_i^{t_i}$. Since each box could contain a different integer, you need $n$ a ser, al menos, el número de cajas en la partición; de lo contrario, se perderá algunos de los términos en el Schur polinomio.

Aún mejor es tomar un número infinito de variables $x_1, x_2, \ldots$; luego el Schur polinomio se convierte en una potencia de la serie (cada término es todavía finito). Esto permite escribir fórmulas de comparación de Schur polinomios de diferentes particiones sin preocuparse por el número de variables. Lo mismo vale para los otros polinomios simétricos.

(Nota: por supuesto, las fórmulas no son tonterías si usted toma menos de $d$ variables. Usted sólo tiene que tener cuidado al comparar dos diferentes fórmulas haciendo exactamente lo que hizo: tomar tantas variables como usted necesita, a continuación, ajuste igual a 0 el extra de las variables en la fórmula tiene más variables).