ampliación de automorfismos en completa álgebras booleanas

Question

Supongamos $A$ es una completa subalgebra de una completa álgebra booleana $B$. Supongamos $f : A \to A$ es un automorphism. A continuación, $f$ puede ser extendido a un automorphism de $B$. Puedo ver esto con el hecho de que $B$ es equivalente a un paso de dos obligando iteración $A * \check B/\dot G$ y el uso de automorphism-de-nombres. Pero tengo curiosidad, ¿hay una manera simple y directa para definir esta extensión de $f$ sin referencia a obligar?

Edit: Comentarios muestran que la premisa de que mi pregunta estaba mal. Pero he aprendido algo, así que lo dejo a los moderadores si esta pregunta necesidades de eliminación.

Answer 1

Como fue planteado en los comentarios, no es en realidad un contraejemplo. Te voy a dar uno más simple de lo que di en los comentarios, con la misma idea. Tome $B = P(\{1,2,3\})$, y $$A = \{\emptyset,\{1\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}.$$ Then $Un$ has the automorphism which switches $\{1\}$ and $\{2,3\}$. But this can't extend to an automorphism of $B$, since every automorphism of $B$ must send $\{1\}$ to either $\{2\}$ or $\{3\}$.