La partición de los enteros de $1 a$ través $de$ n, de modo que el producto de los elementos de un conjunto es igual a la suma de los elementos en el otro

Question

Es sabido que, para $n \geq 5$, es posible dividir los números enteros de $\{1, 2, \ldots, n\}$ en dos subconjuntos disjuntos tales que el producto de los elementos de un conjunto es igual a la suma de los elementos en el otro. Una solución es la siguiente:

Vamos a $N = \{1, 2, \ldots, n\}$.

Si $n$ es, incluso, tomar $P = \{1, \frac{n-2}{2}, n\}$ y $N P$ como los dos conjuntos.

Si $n$ es impar, tomar $P = \{1, \frac{n-1}{2}, n-1\}$ y $N P$ como los dos conjuntos.

Mi pregunta es la siguiente:

Es esta partición única para infinidad de $n$?

Uno podría ser capaz de demostrar un mejor resultado, como no sé de ninguna de las otras soluciones.

Actualización sobre el progreso: Derek Jennings ha encontrado otra familia de soluciones para el caso de que $n$ es un múltiplo de 4, excepto para $n=8$, $28$, o $36$; véase su respuesta a continuación. Y Mateo Conroy ha comprobado que, para $n \leq 100$, la partición dada arriba es única sólo para $n = 5,6,7,8,9,13,18,$ y $34$.

Antecedentes: El problema de la prueba de que la partición es posible que se planteó hace varios años como un Problema 2826 en la revista Quid Mathematicorum, con soluciones en el abril de 2004. Cada uno de los 20 o así solucionadores (incluyéndome a mí, es por eso que estoy interesado en la pregunta), vino con la partición que se dan aquí. La persona que originalmente planteó el problema también se le preguntó si la partición es único para una infinidad de $n$. No creo que nadie haya enviado una respuesta a la última pregunta de Quid (aunque no puedo comprobar que, como no tengo una suscripción). Pensé que alguien aquí podría ser capaz de dar una respuesta.

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Answer 1

Esto no responde a la pregunta, pero es el progreso hacia.

Para $n=4m$ podemos obtener una partición con la propiedad requerida por tomar $P=\lbrace 8,m-1,m+1 \rbrace $ $m>1 \textrm{ y } m \ne 7 \textrm{ o } 9.$

Esta partición es distinta de la dada en la pregunta por la totalidad de los $m>2$ y por lo tanto la partición en la pregunta no es única para $n$ un múltiplo de $4 dólares y más de $8.$ (Otras soluciones existen para $n=28$ y $n=36.$)

Answer 2

Aquí es una observación interesante:

Si $\frac{n(n+1)}{2}+1$ no es un número primo, ni un cuadrado de un número primo, entonces la partición no es única.

Prueba

Mira la partición de $P=\{a,b \}$ y $N P$.

Esto funciona si y sólo si

$$ab=\frac{n(n+1)}{2}-a-b \,,$$

si y sólo si

$$ab+a+b+1=\frac{n(n+1)}{2}+1 \,.$$

si y sólo si

$$(a+1)(b+1)=\frac{n(n+1)}{2}+1 \,.$$

Mientras el lado derecho puede ser escrito como el producto de dos distintas adecuada divisores, podemos encontrar $a,b$.

Edición me he apuntado a continuación he hecho una(otra) primaria error, el reclamo debe ser si $\ \dfrac{n(n+1)}{2}+1$ es el producto de dos distintas adecuada divisores que no exceda de $n$, entonces la solución no es única.

Lo siento, este es más débil de lo que pensaba.

Answer 3

Yo sólo quería hacer un comentario que puede reformular la pregunta

Encontrar todos $S\subconjunto \{1,2,\dots , n\}$ tal que $$\sum_{i\in S}+\prod_{i\in S}=\frac{n(n+1)}{2}.$$

Alternativamente

Dado $n$, ¿cuántas cajas con una dimensión inferior a $n$, y los distintos entero lados existen tales que la suma de las longitudes de los lados más el volumen es el $n^{th}$ triángulo número?

Es muy interesante notar, que en esta forma se ve, al menos, similar a la de este famoso problema.

Answer 4

No hay familias de 2 elementos de la forma $\{an+b,cn+d\}$. De lo contrario, tendríamos $(an+b)(cn+d)+un+b+cn+d=\frac{n^{2}+n}{2}$ por lo tanto $bd+b+d=0$, $d(b+1)=-b$, $c=\frac {b}{b+1}$, $ac=\frac{1}{2}$ y $ac+ad+a+b=\frac{1}{2}$, y las sustituciones dará una ecuación cuadrática en b para los cuales no hay soluciones dar un infinito conjunto de soluciones.

Suponiendo que una familia de soluciones de 3 elementos fueron dados por $\{an+b,cn+d,fn+e\}$ donde $a,b,c,d,e,f$ son racionales, y se aplicarán para todo $n$ que $an+b,cn+d,fn+e$ son distintos números enteros $a>0$ y $\leq{n}$.
Su producto + su suma es $\frac{n^2+n}{2}$, por tanto, las ecuaciones paramétricas de la solución de las familias serían:

$acf=0$ (generalizando, las familias de los $$ n elementos tiene 2 elementos con un valor distinto de cero $$ n, el coeficiente y el resto de los elementos sería constante, así que podemos asumir que $f = 0$)

$ebd+e+b+d=0$

$eac=\frac{1}{2}$

$ebc+eda+a+c=\frac{1}{2}$

Con los 4 elementos de la familia de soluciones de $\{an+b,cn+d,e,f\}$ requeriría:

$ca(f+g)=\frac{1}{2}$

$a+c+adgf+gcbf=\frac{1}{2}$

$bdfg+b+d+f+g=0$