"Un polinomio real de grado $n$ no puede tener más de $n-1$ extremos locales": ¿una prueba sin derivadas?

Question

Estoy buscando una demostración que no utilice derivadas del teorema elemental dado en el título:

Teorema: Un polinomio $p:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ de grado $n$ no puede tener más de $n-1$ extremos locales.

Por supuesto, la demostración es realmente fácil usando derivadas, pero por razones de enseñanza (y curiosidad) me interesa encontrar una demostración que las evite y use sólo hechos elementales sobre polinomios. He encontrado una que utiliza las derivadas sólo de forma encubierta (ver más abajo), pero me alegraría si alguien tiene una mejor.

Aquí va la prueba. En primer lugar, es posible definir una "derivada formal $p'(x)$ de un polinomio dado $p(x)$ sólo por su acción sobre los monomios, es decir: $a\cdot x^k$ se convierte en $ka\cdot x^{k-1}$ . (Parece que es exactamente lo que hizo Rolle al demostrar la primera versión del Teorema de Rolle en 1691, que es anterior al cálculo y se hizo sólo para polinomios). Entonces, es fácil demostrar que la derivada formal obedece a la regla del producto habitual y que $p'(x)=q'(x)$ si $b\in\mathbb{R}$ y $q(x)=p(x)+b$ . Ahora, observe que $a\in\mathbb{R}$ es un extremo local de $p(x)$ si $(p(x) - p(a)) = (x-a)^2\cdot q(x)$ para algunos $q(x)$ . La razón es que $p(x)-p(a)$ toca pero no cruza el eje horizontal en $a$ por lo que debe ser divisible por $(x-a)^2$ . Por la regla del producto, $p'(a) = 0$ por lo que no hay más que $n-1$ extremos locales ya que $p'(x)$ es de grado $n-1$ .

Aunque no necesitamos definir conceptualmente la derivada para que esta prueba funcione, parece un engaño ad-hoc usarlas de todas formas, y debemos tomarnos el trabajo de probar la regla del producto. Pero tal vez no haya ninguna salida.

Answer 1

Probemos con un ejemplo concreto:

$f(x)$ es un $3$ polinomio de grado rd en $x$ y tiene un máximo en $x=5$ y un mínimo en $x=8$ . ¿Podría haber otro extremo?

En primer lugar, veamos que los dos extremos descritos anteriormente implican $f(x)\to+\infty$ como $x\to+\infty$ . Para ver esto, supongamos que la otra alternativa se mantiene: $f(x)\to-\infty$ como $x\to+\infty$ . Entonces la curva que empieza a subir cuando $x$ aumenta más allá de $x=8$ se daría la vuelta y se iría hacia abajo. Haz el dibujo y verás que eso significa que alguna línea cruza la curva cuatro veces, mientras que una $3$ El polinomio de grado rd puede intersecar una línea recta sólo tres veces.

Ahora preguntemos por otros extremos. ¿Qué tal, por ejemplo, un mínimo en $x=3$ ? Entonces para algún número pequeño $\delta$ , usted tiene $f(3-\delta)>f(3)<f(3+\delta)$ . Dibuja la línea recta que pasa por el punto $(3-\delta, f(3))$ y el punto en el que $x=3$ y $y$ es ligeramente menor que $f(5)$ . Si has dibujado el gráfico de forma coherente con la información anterior, mostrando $f(x)\to+\infty$ como $x\to+\infty$ .

Surgen seis posibilidades:

• Un mínimo local en algún lugar de $(-\infty,5)$ . Este es el caso comentado en el párrafo anterior.
• Un máximo local en ese intervalo.
• Un mínimo local en algún lugar de $(5,8)$ .
• Un máximo local en ese intervalo.
• Un mínimo local en algún lugar de $(8,\infty)$ .
• Un máximo local en ese intervalo.

Cada una de ellas conduce a una gráfica que es intersecada por una línea recta más de tres veces.