¿Es siempre cierto que si $f$ es impar, entonces $ \displaystyle\int_ {-b}^b f(x) dx =0$ ?

Question

Obviamente asumiendo $f$ integrable. La prueba estándar parece integrar por sustitución (sustituir $x$ por $-u$ , $dx$ por $-du$ ...etc.). Sin embargo, en la prueba del teorema de sustitución, asumimos (al menos en la prueba que conozco) que para

$$ \int _{g(a)}^{g(b)} h(x) dx= \int _a^b h(g(t))g´(t)dt$$ para aguantar, necesitamos tener una primitiva $H$ ...lo cual no asumo en este problema...

Entonces, ¿existe algún contraejemplo?

Answer 1

Sí, es verdad. Permítame esbozar una prueba.

Primero note que si $f$ es integrable en $[a,b]$ y $c \in [a,b]$ entonces (por teorema):

$$ \int_a ^b f(x) ~dx= \int_a ^cf(x)~dx+ \int_c ^b f(x)~ dx$$

Aplicando esto a $[-b,b]$ y $c=0$ que tenemos:

$$ \int_ {-b}^b f(x)~dx= \int_ {-b}^0 f(x) ~dx+ \int_0 ^b f(x)~dx$$

Fíjese en eso: $$ \int_0 ^b f(x)~dx = \lim_ {|P| \to 0} \sum_ {[u,v] \in P}f(x^{ \ast })(v-u)$$

Donde $x^{ \ast }$ es cualquier punto en $[u,v]$ . Para concretar, elige el punto medio. $P$ es cualquier partición de $[0,b]$ y $|P|$ es el tamaño de la malla. Si esta no es su definición de la integral, entonces es un teorema (o sustituya su definición). :)

Tengan en cuenta que $f(x^{ \ast })=-f(-x^{ \ast })$ . También tenga en cuenta que si $P=\{0,x_1,x_2,...,b\}$ es una partición de $[0,b]$ entonces $P'=\{-b,...,-x_2,-x_1,0\}$ es una partición de $[-b,0]$ . Además, observe si $[u,v] \in P$ entonces $[-v,-u] \in P'$ .

Poniendo estos juntos: $$ \begin {align*} \int_0 ^b f(x)~dx &= \lim_ {|P| \to 0} \sum_ {[u,v] \in P}f(x^{ \ast })(v-u) \\ &= \lim_ {|P| \to 0} \sum_ {[u,v] \in P}-f(-x^{ \ast })(v-u) \\ &= \lim_ {|P| \to 0} \sum_ {[u,v] \in P}-f(-x^{ \ast })((-u)-(-v)) \\ &=- \lim_ {|P| \to 0} \sum_ {[u,v] \in P}f(-x^{ \ast })((-u)-(-v)) \end {align*}$$

Tenga en cuenta que si $x^{ \ast }$ es el punto medio de $[u,v]$ entonces $-x^{ \ast }$ es el punto medio de $[-v,-u]$ . Llama a este nuevo punto medio $x'$ define $u'=-u$ y $v'=-v$ . Así que sólo renombra las variables:

$$- \lim_ {|P| \to 0} \sum_ {[u,v] \in P}f(-x^{ \ast })((-u)-(-v))=- \lim_ {|P'| \to 0} \sum_ {[v',u'] \in P'}f(x')(u'-v')$$

Esta última suma es sólo $- \int_ {-b}^0 f(x)~dx$ . Así $ \int_ {-b}^bf(x)~dx= \int_ {-b}^0f(x)~dx+ \int_0 ^bf(x)~dx=0$

Hay pequeños detalles que tratar, pero espero que puedas usar tu imaginación para rellenarlos.

Answer 2

Sí, siempre es cierto. (Asumiendo que la integral tiene sentido). Primero, note que

$$ \int_ {-b}^b \mathrm f(x)~ \mathrm dx = \int_ {-b}^0 \mathrm f(x)~ \mathrm dx + \int_ {0}^b \mathrm f(x)~ \mathrm dx$$

Si hacemos la sustitución $x = -u$ entonces $ \mathrm dx = - \mathrm du$ y así \begin {eqnarray*} \int_ {x=-b}^{x=0} \mathrm f(x)~ \mathrm dx &=& \int_ {u=b}^{u=0} - \mathrm f(-u)~ \mathrm du \\ \\ &=& \int_ {0}^b \mathrm f(-u)~ \mathrm du \end {eqnarray*} La elección de la variable no cambia el valor de la integral, por lo que la $u$ en la última línea podría ser un $x$ y seguiríamos teniendo el mismo valor. De ahí que \begin {eqnarray*} \int_ {-b}^b \mathrm f(x)~ \mathrm dx &=& \int_ {0}^b \mathrm f(-x)~ \mathrm dx + \int_ {0}^b \mathrm f(x)~ \mathrm dx \\ \\ &=& \int_ {0}^b \mathrm f(-x)+ \mathrm f(x)~ \mathrm dx \end {eqnarray*}

Esto es cierto para todas las funciones integrables $ \mathrm f$ . Si ahora decimos que $ \mathrm f$ es un Función impar entonces, por definición, $ \mathrm f(-x) \equiv - \mathrm f(x)$ y así $ \mathrm f(-x)+ \mathrm f(x) \equiv - \mathrm f(x)+ \mathrm f(x) \equiv 0$ . Por lo tanto \begin {eqnarray*} \int_ {-b}^b \mathrm f(x)~ \mathrm dx &=& \int_ {0}^b \mathrm f(-x)+ \mathrm f(x)~ \mathrm dx \\ \\ &=& \int_ {0}^b 0~ \mathrm dx \\ \\ &=& 0 \end {eqnarray*}

Answer 3

¡Esto siempre es cierto!

$f$ es impar si $f(x) = -f(-x)$

Luego

$ \int_ {-b}^{b} f(x) dx = \int_ {-b}^{0} f(x) dx + \int_ {0}^{b} f(x) dx = \int_ {-b}^{0} -f(-x) dx + \int_ {0}^{b} f(x) dx = - \int_ {0}^{b} f(x) dx + \int_ {0}^{b} f(x) dx = 0$