Con $\mathbb{Q}(\zeta_k)$ un cyclotomic campo, $\chi_1,\ldots,\chi_{\phi(k)}$ los caracteres de Dirichlet modulo $k$ $\tilde{\chi}_1,\ldots,\tilde{\chi}_{\phi(k)}$ la subyacente primitivos caracteres de Dirichlet, vamos a $$\Phi(n) = \begin{pmatrix}\tilde{\chi}_1(n) & &\\ & \ldots & \\ & & \tilde{\chi}_{\phi(k)}(n) \end{pmatrix}$$ A continuación, $$\det\left(\sum_{n=1}^\infty \Phi(n) n^{-s}\right)= \prod_{j=1}^{\phi(k)}L(s,\tilde{\chi}_j)=\zeta_{\mathbb{Q}(\zeta_k)}(s) = \sum_{I \subset \mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\zeta_k)}} N(I)^{-s}$$
Artin reciprocidad dice que el mismo se cumple para cualquier abelian extensión de $L/K$, con caracteres de Dirichlet reemplazado por Hecke caracteres.
Entonces uno puede preguntarse ¿cuál sería la generalización de esta función $\Phi : \mathbb{Z}\to \text{GL}_{\phi(k)}(\mathbb{C})$ en el contexto de Artin L-funciones y la descomposición de la $L(s,\rho)$ como producto o cociente de Hecke L-funciones ?
¿Qué acerca de la asociada a la función theta $\displaystyle\Theta(z)=\sum_{n=-\infty}^\infty \Phi(n) e^{2i \pi n^2 z}$ en el contexto de automorphic formas (o es $\det(\sum_{n=-\infty}^\infty \Phi(n) e^{2i \pi n^2 z})$) ?
¿Tiene sentido buscar en ciertos $n$-representaciones tridimensionales de los ideales de los grupos de número de campos como la generalización de Hecke caracteres (es $1$-dimensiones de la representación de $\mathcal{I}_{K,\mathfrak{f}}$ que es un producto de un número finito de caracteres locales en $\mathcal{P}_{K,\mathfrak{f}}$) ?
Algunas reflexiones para la dirección de Kimball perfecto comentario sobre el hecho de ideal son los grupos de abelian mientras estamos interesados en no abelian extensiones de Galois :
Para la construcción de la Artin L-funciones, lo que necesitamos es $\displaystyle\mathfrak{Z}_{L/K}(s) =\sum_{g \in G} \quad [g] \sum_{\mathfrak{p}^k\in \mathcal{O}_K, \text{Frob}_\mathfrak{p}^k = g} \frac{N(\mathfrak{p})^{-sk}}{k}$ donde $L/K$ es de Galois, $G = \text{Gal}(L/K)$ $[g]$ base $\mathbb{C}[G]$.
Como $G$ no es abelian, no podemos mirar a $\exp(\mathfrak{Z}_{L/K}(s) )$ y obtener un buen Dirichlet, como la serie anterior.
Lo que escribí anteriormente da lugar a una forma de construir $\displaystyle Z_{L/K}(s) =\sum_{g' \in G^{ab}, \in G, g \sim g'} [g'] \sum_{\mathfrak{p}^k\in \mathcal{S}_K, \text{Frob}_\mathfrak{p}^k = g} \frac{N(\mathfrak{p})^{-sk}}{k}$ where $G^{ab}$ is the abelianization of $G$, so that $\exp(Z_{L/K}(s))$ can be constructed as above in term of (abelian) representations of (the abelian group) $\mathcal{I}_K$, o en el plazo de Hecke caracteres.
