¿Cómo debo entender ecuaciones de conceptos de la física?

Question

Me enseñan a mí las matemáticas, pero en aquellos días yo quería aprender acerca de la relatividad General (no continuar en él, pero sólo para tener algo de fondo), tal vez porque tengo mucha curiosidad de saber por qué exactamente Nos necesita a la curvatura del espacio-tiempo para interpretar la Gravedad ... Pero tuve que enfrentar algunos problemas cuando empecé a leer sobre ella, porque mi conocimiento de la física es muy poco (Se sentía también que no sé nada de matemáticas a todos!!!!! que me sentí un poco frustrado ). El problema que yo sé todo lo que se necesitaba, pero en el libro de texto que estoy leyendo en los que estaban trabajando con las herramientas de "yo sé" en forma extraña que no soy comprender plenamente. Por ejemplo, en la gravitación Newtoniana, el autor deriva la fórmula $$ \nabla \cdot \frac{\mathbf{x}}{|\mathbf{x}|^3} = 4\pi \delta(\mathbf{x}) $$ , and used it to derive the divergence of gravitation at some point $\mathbf{r}$ as following; $$ \nabla\cdot\mathbf{g}(\mathbf{r}) = -4\pi G\int \rho(\mathbf{s})\ \delta(\mathbf{r}-\mathbf{s})\ d^3\mathbf{s} = -4\pi Gp(r) $$, the last equality is one of those problems facing me, how I can derive that and I am assuming that I use the ordinary jordan measure used in definition of reimanian integral, I can understand it using the "convention" that $\delta$ is sum sort of concentrating mass at $0$ formalizing that using measure which the book didn't do, It only defined $\delta$ to be that function of all of $\mathbb{R}^3$, for which $$\int_V f(\mathbf{x}) \delta( \mathbf{x}) \space{} \mathrm{d}\mathbf{x} = f(0) $$ whenever $0$ lies in $V$, y la integral es cero, de lo contrario, que no puede tener sentido en el ordinario reimanian integral, entonces, ¿cómo debo entender ??

Para la fórmula $$ \nabla \cdot \frac{\mathbf{x}}{|\mathbf{x}|^3} = 4\pi \delta(\mathbf{x}) $$, it can't make sense to me except that it is some type of convention not a formula, though it was *derived# in the textbook through the divergence theorem where $$\int_{V} \nabla \cdot \frac{\mathbb{x}}{|\mathbf{x}|^3} \mathrm{d} \mathbf{x} = \int_{\partial V} d \Theta = 4 \pi $$, where $V$ is some body "3-manifold with boundary which is compact" which contains the origin, $d \Theta$ es el ángulo sólido formulario. Pero el teorema de la divergencia no puede ser utilizado como esto debido a que el campo subyacente no es diferenciable, por otra parte la izquierda integral debe ser cero, lo que no sucede aquí, excepto si hay alguna variante del teorema de la divergencia para otras medir los espacios donde algún momento se ha concentrado en masa, o es algún tipo de convenio en el que queremos que la divergencia de la Th. para celebrar.

Entonces, ¿qué es exactamente lo que quería saber, ¿cómo debo entender estas cosas exactamente y no física de los alumnos están de preocuparse por el formalismo como los de las matemáticas?

Y por qué el libro de texto no distingue entre teoremas, definiciones y convenciones ?

Por último, ¿qué me consejos para tener una buena base en la teoría de la relatividad General, y cuáles son sus problemas, que son puramente matemáticos como las ecuaciones que surgen, las estructuras y los demás ? Gracias

Answer 1

Usted puede entender todo lo que clásicamente si tienes cuidado. A continuación, puedes recordar lo que la notación abreviada de los medios, y permitir a ti mismo para llegar a la respuesta correcta un poco más rápido. Por ejemplo, sólo recuerda que $$ V(x)=\int_{V}\rho(x')\frac{1}{|x-x'|}\,d^{3}x' $$ es una solución de la ecuación de Poisson $$ \nabla^{2}V(x)=-4\pi\rho(x). $$ Por lo $\vec{E}=-\nabla V$ es una solución de $\nabla\cdot \vec{E}=4\pi\rho$ (lo siento por la definición que omite $\epsilon_{0}$.) Necesitas algo de suavidad en la función de $\rho$ a decir esto, pero no mucho. Esta fórmula puede ser verificada, solo que no tan trivial como una función delta sugiere. La función delta se convierte en una forma de escribir una ecuación con el fin de hacer la fórmula intuitiva.

Usted señalaba, que el formalismo de la falta de adecuado rigor. Clásicamente, uno no está permitido el intercambio de diferenciación y de integración en este caso; sin embargo, si permite la abstracción de una función delta, entonces usted puede escribir lo anterior en un memorable y sugestiva manera como $$ \nabla^{2}V(x)=\int_{V}\rho(x')\nabla^{2}_{x}\frac{1}{|x-x'|}dV(x') \\ =-\int_{V}\rho(x')4\pi\delta(x-x')d^{3}x'=-4\pi\rho(x). $$ No hay nada malo en hacer esto si usted está consciente de que la correcta lógica que lo respalda, y que un par de condiciones mínimas que necesita ser verificada. Existe considerable de abstracción que le permita definir rigurosamente tales cosas, y ellos tienen el trabajo de la forma que usted desearía. Sin embargo, yo sugiero que usted recuerde que hay métodos clásicos para hacer sentido de tal formalismo; sólo recuerda que, incluso si un paso o dos en entre no es clásicamente correcta, el resultado final puede ser correcto en bastante condiciones generales.

Te recomiendo que aprendas sobre el Teorema de Helmholtz. Esto simplificará mucho lo que estamos tratando de hacer, y te dejamos más confianza en lo que estás haciendo: http://en.wikipedia.org/wiki/Helmholtz_decomposition .

También es interesante ver cómo profesional de los Físicos trabajan con funciones delta:
Referencia: J. D. Jackson, La Electrodinámica Clásica. Busque función delta en el índice.