Cómo puedo mostrar $(\pi_1,W_1), (\pi_2,W_2)$ es un buen atlas para $S^3$

Question

Que $S^3 = {(x^1,x^2,x^3,x^4) \in \mathbb{R}^4 \mid (x^1)^2+(x^2)^2+(x^3)^2+(x^4)^2 = 1}$

Que $W_1 = S^3 - (0,0,0,1);$ y $\pi_1: W_1\to \mathbb{R}^3$ por

$$\pi_1(x^1,x^2,x^3,x^4) = \left (\frac{x^1}{1-x^4},\frac{x^2}{1-x^4},\frac{x^3}{1-x^4} \right ) $$

Que $W_2 = S^3 - (0,0,0,-1);$ y $\pi_2: W_2\to \mathbb{R}^3$ por

$$\pi_2(x^1,x^2,x^3,x^4) = \left (\frac{x^1}{1+x^4},\frac{x^2}{1+x^4},\frac{x^3}{1+x^4} \right ) $$

¿Cómo puedo mostrar que $(\pi_1,W_1), (\pi_2,W_2)$ es un buen atlas para $S^3$?

Sé que para demostrar esto, necesito demostrar que $\pi_1,\pi_2$ son diffeomorphisms y que $W_1 \cup W_2 \supseteq S^3$ y $\pi2 \circ \pi{1}^{-1}$ $C^\infty$.

pero no sé cómo mostrar alguna de estas cosas de cómputo, ¿cómo pude hacer eso?

Answer 1

Direcciones generales:

• Desde $(0,0,0,1)\in W_2$$(0,0,0,-1)\in W_1$, se deduce que el $\Bbb S^3 = W_1\cup W_2$, por definición, de $W_1$$W_2$.

• La diferenciabilidad de $\pi_1$ $\pi_2$ sólo tiene sentido después de que hemos creado una estructura diferenciable en a $\Bbb S^3$. En particular, los gráficos serán automáticamente diffeomorphisms. Dicho esto, usted sólo tiene que comprobar que el $\pi_1$ $\pi_2$ son homeomorphisms y que $\pi_2\circ\pi_1^{-1}$$C^\infty$: con esto, el diferenciable de la estructura dada por el atlas maximal que contiene a $\pi_1$ $\pi_2$ hará diffeomorphisms.

• Para comprobar que el $\pi_1$ $\pi_2$ son homeomorphisms, usted puede dar a sus inversas, de manera explícita, y ver que están en continuo. La continuidad de la $\pi_1$ $\pi_2$ es obvio, por sus componentes.

• Por ejemplo, se puede reconocer a $\pi_1$ como la proyección estereográfica a través del polo norte, y $\pi_2$ a través del polo sur. Si $(u^1,u^2,u^3)\in \Bbb R^3$, vamos $$X(t)= (u^1,u^2,u^3,0)+t((0,0,0,1)-(u^1,u^2,u^3,0)).$$There is an unique $t_0$ such that $X(t_0)\in \Bbb de S^3$ (in other words, such that $\|X(t_0)\|=1$). Then $\pi_1^{-1}(u^1,u^2,u^3)= X(t_0)$. Similarly for $\pi_2$.

• Utilice el punto anterior para dar una expresión para $\pi_2\circ \pi_1^{-1}(u^1,u^2,u^3)$, y la reconoce como $C^\infty$.