El Gelfand–Naimark Teorema establece que una arbitraria C*-álgebra $ A $ es isométricamente *-isomorfo a una C*-álgebra de operadores acotados en un espacio de Hilbert. Hay otra versión, que dice que si $ X $ $ Y $ son compactos espacios de Hausdorff, entonces son homeomórficos iff $ C(X) $ $ C(Y) $ son isomorfos como anillos. Se relacionan estas dos, de todos modos?
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El primer resultado que usted dijo es comúnmente conocido como el Gelfand-Naimark-Segal Teorema. Es cierto arbitrarias de C*-álgebras, y su prueba emplea una técnica conocida como el GNS-construcción. Esta técnica básicamente permite construir un espacio de Hilbert $ \mathcal{H} $ a de una C*-álgebra $ \mathcal{A} $ tal que $ \mathcal{A} $ puede ser isométricamente incrustado en $ B(\mathcal{H}) $ C*-subalgebra.
El Gelfand-Naimark Teorema, por otro lado, los estados que cada conmutativa la C*-álgebra $ \mathcal{A} $, si unital o no, es isométricamente *-isomorfo a $ {C_{0}}(X) $ para algunas localmente compacto Hausdorff espacio de $ X $. Al $ X $ es compacto, $ {C_{0}}(X) $ $ C(X) $ llegan a ser idénticas.
Nota: La asunción de la conmutatividad es esencial para establecer la Gelfand-Naimark Teorema. Esto es debido a que no podemos darnos cuenta que no conmutativa la C*-álgebra como la conmutativa la C*-álgebra $ {C_{0}}(X) $, para algunas localmente compacto Hausdorff espacio de $ X $.
Lo que sigue es una declaración de la Gelfand-Naimark Teorema, con el máximo nivel de precisión.
Gelfand-Naimark Teorema Deje $ \mathcal{A} $ ser un conmutativa la C*-álgebra. Si $ \mathcal{A} $ es unital, a continuación, $ \mathcal{A} $ es isométricamente *-isomorfo a $ C(X) $ para algunos compacto Hausdorff espacio de $ X $. Si $ \mathcal{A} $ no es unital, a continuación, $ \mathcal{A} $ es isométricamente *-isomorfo a $ {C_{0}}(X) $ para algunos no-compacto, localmente compacto Hausdorff espacio de $ X $.
Este resultado es a menudo el primer establecido para el caso cuando $ \mathcal{A} $ es unital. Básicamente trata de mostrar que el compacto de Hausdorff espacio de $ X $ puede ser tomado como el conjunto de $ \Sigma $ de todos los no-cero caracteres en $ \mathcal{A} $ donde $ \Sigma $ está equipado con un especial de la topología. Aquí, un personaje en $ \mathcal{A} $ significa un funcional lineal $ \phi: \mathcal{A} \to \mathbb{C} $ satisfacción $ \phi(xy) = \phi(x) \phi(y) $ todos los $ x,y \in \mathcal{A} $. Un esbozo de la prueba es la siguiente.
Mostrar que cada personaje tiene sup-norma $ \leq 1 $. Por lo tanto, $ \Sigma \subseteq {\overline{\mathbb{B}}}(\mathcal{A}^{*}) $ donde $ {\overline{\mathbb{B}}}(\mathcal{A}^{*}) $ denota la bola unidad cerrada de $ \mathcal{A}^{*} $.
Equipar $ {\overline{\mathbb{B}}}(\mathcal{A}^{*}) $ con el subespacio de la topología heredada de $ (\mathcal{A}^{*},\text{wk}^{*}) $ donde $ \text{wk}^{*} $ denota la débil*-topología. Por el Banach-Alaoglu Teorema, $ {\overline{\mathbb{B}}}(\mathcal{A}^{*}) $, entonces se convierte en un compacto Hausdorff espacio.
Demostrar que $ \Sigma $ es un débil*-cerrado subconjunto de $ \left( {\overline{\mathbb{B}}}(\mathcal{A}^{*}),\text{wk}^{*} \right) $. Por lo tanto, $ \Sigma $ se convierte en un compacto Hausdorff espacio con el subespacio de la topología heredada de $ \left( {\overline{\mathbb{B}}}(\mathcal{A}^{*}),\text{wk}^{*} \right) $.
Para cada una de las $ a \in \mathcal{A} $, definir $ \hat{a}: \Sigma \to \mathbb{C} $ $ \hat{a}(\phi) \stackrel{\text{def}}{=} \phi(a) $ todos los $ \phi \in \Sigma $. Llamamos a $ \hat{a} $ el Gelfand-transformación de $ a $.
Mostrar que $ \hat{a} $ es una función continua de $ (\Sigma,\text{wk}^{*}) $ $ \mathbb{C} $por cada $ a \in \mathcal{A} $. En otras palabras, $ \hat{a} \in C((\Sigma,\text{wk}^{*})) $ por cada $ a \in \mathcal{A} $.
Por último, demostrar que $ a \longmapsto \hat{a} $ es una isométrica *-isomorfismo de$ \mathcal{A} $$ C((\Sigma,\text{wk}^{*})) $.
Vamos ahora a echar un vistazo en el siguiente teorema, que el OP ha preguntado acerca de.
Si $ X $$ Y $, compacto y Hausdorff espacios, a continuación, $ X $ $ Y $ son homeomórficos si y sólo si $ C(X) $ $ C(Y) $ son isomorfos como C*-álgebras (no sólo como anillos).
Uno en realidad no requiere de la Gelfand-Naimark Teorema para demostrar este resultado. Veamos una demostración.
Prueba
La dirección de avance es trivial. Tomar un homeomorphism $ h: X \to Y $, y definir $ h^{*}: C(Y) \to C(X) $ $ {h^{*}}(f) \stackrel{\text{def}}{=} f \circ h $ todos los $ f \in C(Y) $. A continuación, $ h^{*} $ es una isométrica *-isomorfismo.
La otra dirección es no trivial. Deje $ \Sigma_{X} $ $ \Sigma_{Y} $ denota el conjunto de no-cero caracteres de $ C(X) $ $ C(Y) $ respectivamente. Como $ C(X) $ $ C(Y) $ son isomorfos C*-álgebras, se deduce que el $ \Sigma_{X} \cong_{\text{homeo}} \Sigma_{Y} $. Ahora debemos demostrar que $ X \cong_{\text{homeo}} \Sigma_{X} $. Para cada una de las $ x \in X $, vamos a $ \delta_{x} $ el valor de Dirac funcional que envía a$ f \in C(X) $$ f(x) $. A continuación, defina una asignación de $ \Delta: X \to \Sigma_{X} $ $ \Delta(x) \stackrel{\text{def}}{=} \delta_{x} $ todos los $ x \in X $. A continuación, $ \Delta $ es un homeomorphism de $ X $ $ (\Delta[X],\text{wk}^{*}) $(esto se deduce del hecho de que $ X $ es un espacio completamente regular). Vamos a hacer si podemos demostrar que $ \Delta[X] = \Sigma_{X} $. Deje $ \phi \in \Sigma_{X} $. Como $ \phi: C(X) \to \mathbb{C} $ es surjective (como mapas de la función constante $ 1_{X} $$ 1 $), podemos ver que $ C(X)/\ker(\phi) \cong \mathbb{C} $. De acuerdo a un resultado básico en anillo conmutativo teoría, $ \ker(\phi) $, entonces debe ser un ideal maximal de a $ C(X) $. Como tal, $$ \ker(\phi) = \{ f \in C(X) ~|~ f(x_{0}) = 0 \} $$ para algunos $ x_{0} \in X $ (de hecho, todos los máximos ideales de la $ C(X) $ tienen esta forma; la compacidad de $ X $ es esencial). Por la Representación de Riesz Teorema, podemos encontrar una regular complejo medida de Borel $ \mu $ $ X $ tal que $ \phi(f) = \displaystyle \int_{X} f ~ d{\mu} $ todos los $ f \in C(X) $. Como $ \phi $ aniquila todas las funciones que son de fuga en $ x_{0} $, Urysohn del Lema implica que $ \text{supp}(\mu) = \{ x_{0} \} $. Por lo tanto, $ \phi = \delta_{x_{0}} $, que los rendimientos de $ \Sigma_{X} \subseteq \Delta[X] $. De este modo, obtener $ \Sigma_{X} = \Delta[X] $, lo $ X \cong_{\text{homeo}} \Sigma_{X} $. Del mismo modo, $ Y \cong_{\text{homeo}} \Sigma_{Y} $. Por lo tanto, $ X \cong_{\text{homeo}} Y $ porque $$ X \cong_{\text{homeo}} \Sigma_{X} \cong_{\text{homeo}} \Sigma_{Y} \cong_{\text{homeo}} Y. $$
En realidad, tenemos los siguientes categórico resultado.
Deje $ \textbf{CompHaus} $ denotar la categoría de compactos de Hausdorff espacios, donde los morfismos son continua adecuada de las asignaciones. Deje $ \textbf{C*-Alg} $ denotar la categoría de conmutativa unital C*-álgebras, donde los morfismos son la unidad de preservación de la *-homomorphisms. Entonces no es un functor contravariante $ \mathcal{F} $ $ \textbf{CompHaus} $ $ \textbf{C*-Alg} $tal que
(1) $ \mathcal{F}(X) = C(X) $ todos los $ X \in \textbf{CompHaus} $, y
(2) $ \mathcal{F}(h) = h^{*} $ para todas continua adecuada asignaciones $ h $. Si $ h: X \to Y $,$ h^{*}: C(Y) \to C(X) $, lo que pone de relieve la contravariante de la naturaleza de la $ \mathcal{F} $.
Además, $ \mathcal{F} $ es una dualidad (es decir, contravariante de equivalencia) de las categorías.
El papel de la Gelfand-Naimark Teorema en este resultado es demostrar que $ \mathcal{F} $ es esencialmente surjective functor, es decir, cada conmutativa la C*-álgebra puede ser realizado como $ \mathcal{F}(X) = C(X) $ algunos $ X \in \textbf{CompHaus} $.
Matt Dawdy
Puntos
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El segundo teorema de la que usted describe es el de Banach-Stone teorema. La propiedad conmutativa de Gelfand-Naimark teorema dice algo más fuerte, es decir, que cada conmutativa (unital) C*-álgebra es de la forma $C(X)$ para algunos compacto Hausdorff espacio de $X$. La versión más fuerte del teorema dice que el functor $X \mapsto C(X)$ es un contravariante de equivalencia de categorías.
No sé la historia aquí, pero ambos Gelfand-Naimark teoremas son "Cayley teoremas" para C*-álgebras, uno diciendo que conmutativa la C*-álgebras puede ser representado fielmente como la función de los espacios y los otros diciendo que no conmutativa la C*-álgebras puede ser representado fielmente como espacios de operadores.
