Convexidad y semidefinitness positiva.

Question

Hay una pregunta que solo en mi mente:

Que $P$ ser un poliédrico y $f: \ R^n \to R $ ser una función cuadrática, es decir $f$ admite la representación $$f(x) = x^t Q x + b^t x + \alpha $ $ $Q$ Dónde está una matriz de #% de #% %.

Asumir es convexo en $n \times n$ $f$. Entonces podemos encontrar una matriz semidefinite positiva $P$% y el vector de $A$y escalar $a$ tal que % $ $\beta$

¿a) supongo que No, en busca de un ejemplo? Qué pasa si $$f(x) = x^t A x + a^t x + \beta \quad \quad \forall x \in P$

Answer 1

Si $P$ tiene un punto interior $x$ y $$\frac{d^2}{dt^2}\bigg|_{t=0} \ f(x+tv) =(v,Qv)$$ for all $ | v | = 1$. $f$ Es convexa, $Q$ es una matriz semidefinite positiva. $f$ Es una función convexa en $\mathbb{R}^n$.

Answer 2

Suponga que $P$ es un conjunto no vacío relativa interior, es decir,$\exists x_0\in\text{ri}\,P$.

1. Hacer una traducción de $P_0=\{\xi\colon \xi=x-x_0,\,x\in P\}$ y $$ f(x)=f(x_0+\xi)=\phi(\xi). $$ Tenemos que $0\in\text{ri}\,P_0$ y $$ f(x)=x^TQx+\langle\ldots\rangle\ \text{ es convexa en }P \ffi \phi(\xi)=\xi^TQ\xi+\langle\ldots\rangle \text{ es convexa en }P_0. $$ Aquí $\langle\ldots\rangle$ denota lineal y constante de términos que no afectan a la convexidad.
2. Deje ${\cal M}$ denotar el lineal lapso de $P_0$ ${\mathbb P}_{\cal M}$ la proyección ortogonal en ${\cal M}$. Desde $\phi$ es convexa en a $P_0$ que tiene la no-vacío interior en ${\cal M}$ hemos $$ \xi^TQ\xi\ge 0,\quad\forall\xi\in{\cal M}\ \ffi \ {\mathbb P}_{\cal M}Q{\mathbb P}_{\cal M}\text{ pos.semidef}. $$
3. Ahora defina $A={\mathbb P}_{\cal M}Q{\mathbb P}_{\cal M}$ y $$ \psi(\xi)=\phi({\mathbb P}_{\cal M}\xi)=\xi^TA\xi+\langle\ldots\rangle. $$ Traducir $$ q(x)=\psi(x-x_0)=x^Impuestos+\langle\ldots\rangle $$ para conseguir que los $x\in P$ $$ f(x)=\phi(\xi)=\phi({\mathbb P}_{\cal M}\xi)=q(x) $$ y $q$ es convexa en a ${\mathbb R}^n$.