Calcular el determinante de una matriz dada

Question

La matriz $A_n\in\mathbb{R}^{n\times n}$ viene dada por

$$\left[a_{i,j}\right] = \left\lbrace\begin{array}{cc} 1 & i=j \\ -j & i = j+1\\ i & i = j-1 \\ 0 & \text{other cases} \end{array} \right.$$

Ya he demostrado que se mantiene

$$\det{A_n}= \det{A_{n-1}}+\left(n-1\right)^2\cdot\det{A_{n-2}}$$

Sin embargo, podemos encontrar un expresión explícita para el determinante de $A_n$ ?

Answer 1

Tuve una idea por mí mismo en este momento ...

Mantiene

• $\det(A_1) = 1$
• $\det(A_2) = 2$
• $\det(A_3) = 6$
• $\det(A_4) = 24$
• $\dots$

Así Supongo que el determinante de $A_n$ viene dada por $n!$

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Prueba (por inducción sobre $n$ )

• La afirmación es cierta para $n=1\dots 4$
• Ahora que sea cierto para $n-1$ et $n-2$ entonces:

$$\begin{array}{rcl} \det(A_n) &=& \det(A_{n-1}) + \left(n-1\right)^2\det(A_{n-2})\\ &=& (n-1)! + (n-1)^2\cdot(n-2)! \\ &=& (n-1)! + (n-1)\cdot(n-1)! \\ &=& (1+(n-1))\cdot(n-1)! \\ &=& n! \end{array}$$ Por lo tanto $\det(A_n) = n!$ es verdadero para cada $n\geq 1$

Answer 2

Ponga $a_n=\det A_n$ et $$ f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}a_n \frac{x^n}{n!},\tag{1}$$ para que: $$f'(x) = \sum_{n=0}^{+\infty}a_{n+1}\frac{x^{n}}{n!},\tag{2}$$ $$x\,f(x) = \sum_{n=2}^{+\infty}n\, a_{n-1} \frac{x^{n}}{n!},$$ $$f(x)+x\,f'(x) = \sum_{n=2}^{+\infty}n^2\, a_{n-1} \frac{x^{n-1}}{n!},$$ $$x\,f(x)+x^2\,f'(x) = \sum_{n=2}^{+\infty}n^2\, a_{n-1} \frac{x^{n}}{n!}.\tag{3}$$ Ahora $a_{n+1}=a_n+n^2\,a_{n-1}$ da: $$f'(x) = f(x) + x\, f(x) + x^2\,f'(x),$$ o: $$ (1+x)\,f(x) = (1-x^2)\, f'(x)$$ $$ f(x) = (1-x)\, f'(x)\tag{4}. $$ Las soluciones de esta ecuación diferencial son $f(x)=\frac{K}{1-x}$ , de donde se obtiene que $a_n = K\,n!$ . Desde $a_1=1$ , $a_n=n!$ .