¿Los ejemplos habituales de "dimensiva" Lawvere teorías forman una lista exhaustiva de tales teorías?

Question

Llamar a un Lawvere teoría de la $T$ dimensive iff, dejando $F_T : \mathbf{Set} \rightarrow \mathbf{Mod}(T)$ denotar la libre functor, tenemos los siguientes.

• Cada finitely generadas $T$-álgebra es libre.
• De $F_T(J) \cong F_T(I)$ podemos deducir $J \cong I$, para todos los conjuntos finitos $I,J$.

Motivación. Si $T$ es dimensive, entonces cada finitely generado por $T$-álgebra tiene una bien definida dimensión.

Ejemplos.

• La inicial de Lawvere teoría (cuyos modelos son conjuntos).
• Para cada campo de $K$, el Lawvere teoría de la $K$-módulos.

Pregunta. Es ésta una lista exhaustiva de dimensive Lawvere teorías?

Answer 1

Esto se está poniendo demasiado largo para un comentario, pero aquí hay algunos ejemplos más:

• Módulos sobre un anillo de división $K$ trabajo.
• También, señaló conjuntos de trabajo.
• Afín a los espacios de más de un campo, o más generalmente un anillo de división, de trabajo.

Estos ejemplos proceden de aquí donde Lawvere teorías con todas las álgebras libres son considerados.

Algunas observaciones a partir de allí, todavía se aplican. Su Lawvere teoría debe tener como máximo una constante. Si desea que todas las álgebras de ser libre (no sólo finitely generado), a continuación afín espacios a través de una división de anillo y conjuntos de sí mismos son los únicos ejemplos con no constantes, y parece probable que señaló conjuntos y espacios vectoriales sobre un anillo de división son los únicos ejemplos con constantes.

Actualización Si usted sigue el enlace de arriba, verás que Keith Kearnes y colaboradores tienen ahora un papel que demuestra que estos son los únicos Lawvere teorías para que cada finitely generado el álgebra es libre, independientemente de la condición de segunda! Todos ellos cumplen la segunda condición, también.