Encontrar todas las funciones continuas $ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ tal que $(f(x)g(x))' = f'(x)g'(x) $

Question

<blockquote> <p>Encontrar todas las funciones continuas $ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ tal que $(f(x)g(x))' = f'(x)g'(x), f,g \neq const $</p> </blockquote> <p>Mi solución: $ f'(x)g(x)+g'(x)f(x) = f'(x)g'(x) \\ g(x)+g'(x)f(x)/f'(x) = g'(x) \\ f(x)/f'(x) = (g'(x)-g(x))/g'(x) $</p> <p>Pero, cómo ir más allá para reducir a algo concreto, no sé</p>

Answer 1

$$f'(x)g(x)+f(x)g'(x)=f'(x)g'(x)$$

$$\frac{f(x)}{f'(x)}+\frac{g(x)}{g'(x)}=1$$

$$\frac{1}{[\ln f(x)]'}+\frac{1}{[\ln g(x)]'}=1$$

Llame a $\ln f(x)=p(x)$ y $\ln g(x)=q(x)$

$$p'(x)=\frac{q'(x)}{q'(x)-1}=1+\frac{1}{q'(x)-1}$$

$$p(x)=x+\int\frac{1}{q'(t)-1}dt+c$$

Answer 2

Usted puede fijar una función $f(x)$, y luego obtener una ecuación diferencial para $g(x)$, que tiene una solución única hasta un múltiplo constante: $ f'(x)g(x) + g'(x)f(x) = f'(x)g'(x) $$ $$ g'(x) = \frac{g(x)} {1 - \frac{f(x)}{f'(x)}} $$