Presentación de grupos y expresiones positivas

Question

Para un grupo de $G=〈S|R〉$, $S,R$ ambos son finitos. Un elemento positivo $g\in G$ es un elemento de $G$ que puede ser escrito como un producto finito de elementos de $S$ solamente. Una expresión positiva de $g$ es una palabra $w$ con elementos de $S$ su alfabeto y sólo contienen elementos de $S$ $w$ reducir a $g$ después de la aplicación de las relaciones en $R$. Un básico positivo de reemplazo de $G$ es una relación $w_1=w_2$, $w_1w_2^{-1}$ o $w_2w_1^{-1}$ una relación en $R$ $w_1,w_2$ son expresiones positivas del mismo elemento positivo.

Es cierto que cualquier expresión positiva $w$ para cualquier elemento positivo $g$ puede deformarse en otra expresión positiva $w'$ $g$ sólo por finito de aplicaciones de básica positivo reemplazos?

Answer 1

No está claro a partir de su descripción si usted se considera el elemento de identidad para ser positivo. Ya que es el vacío producto de los elementos de $S$, voy a asumir que es positivo.

Considere la posibilidad de la presentación de $\langle x,y \mid y^2=1, yxy=x^2 \rangle$. Como una presentación del grupo, se define un grupo de orden $6$ (el diedro de grupo). Pero como monoid presentación se define un monoid de orden $8$, con elementos de $\{ 1,x,x^2,x^3,y,xy,yx,xyx\}$. Así las ecuaciones $x^3=1$ $xyx=y$ son verdaderas en el grupo, pero no en el monoid.

Pero la única básicos positivo reemplazos se $y^2 \leftrightarrow 1$$yxy \leftrightarrow x^2$, que son válidos en la monoid, por lo que la relación positiva $x^3=1$ en el grupo no puede ser llevado a cabo mediante básica positivo reemplazos.