Vamos a demostrar por inducción sobre $N$ la siguiente afirmación:
Para cualquier número racional $\frac{p}{q}$ hay sólo un número finito de enteros positivos soluciones a $\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{x_i} = \frac{p}{q}$
Podemos suponer $p,q>0$, de lo contrario la declaración es trivial.
Al $N=1$ la afirmación es obvia, sólo puede haber uno o cero soluciones a $\frac{1}{x_1} = \frac{p}{q}$.
Asumir la afirmación es verdadera para $N-1$. El número más pequeño entre los $x_i$ no puede exceder $Nq$, de lo contrario, todos los sumandos sería menor que $\frac{1}{Nq}$, y
$\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{x_n} < \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{Nq} = \frac{1}{q} \leq \frac{p}{q}$
Por lo tanto, uno de los $x_i$ es en la mayoría de las $Nq$ - hay un número finito de posibilidades para el número más pequeño.
$\{(x_1, \dots, x_N): \frac{1}{x_1} + \dots + \frac{1}{x_N} = \frac{p}{q}\}=$
$\bigcup_i \bigcup_{x_i=1}^{Nq} \{(x_1, \dots, x_N): \frac{1}{x_1} + \dots + \frac{1}{x_N} = \frac{p}{q}\}=$
$\bigcup_i \bigcup_{x_i=1}^{Nq} \{(x_1, \dots, x_N): \frac{1}{x_1} + \dots + \frac{1}{x_{i-1}} + \frac{1}{x_{i+1}} + \dots + \frac{1}{x_N} = \frac{p}{q} - \frac{1}{x_i}\}$
Por hipótesis inductiva (con $\frac{p}{q} - \frac{1}{x_i}$), de cada juego aquí es finito, y una unión finita de conjuntos finitos es finito. La prueba está terminado.
Tenga en cuenta que esta prueba da una (muy lento) algoritmo que encuentre todas las soluciones. A continuación es una generalización basada en la más abstracta de las herramientas.
Considere la posibilidad de ${\mathbb N}^k$ con orden parcial $(a_1, \dots, a_N) \leq (b_1, \dots, b_N)$ fib $a_i \leq b_i$ todos los $i$.
Deje $f \colon {\mathbb N}^k \to \mathbb R$ ser estrictamente una función decreciente. El conjunto $f^{-1}(1)$ es un antichain, porque $f$ es estrictamente decreciente. El problema se resuelve cuando utilizamos
Dickson lema: Cualquier antichain en ${\mathbb N}^k$ es finito.
y, por supuesto, establecer $f(x_1, \dots, x_N) = \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{x_N}$, pero el punto es que usted puede tener cualquier estrictamente función decreciente.
La prueba del lema de Dickson es similar a la prueba anterior. Si el antichain está vacía, hemos terminado; de lo contrario, contiene algún elemento $(x_1, \dots, x_N)$; cualquier otro elemento en la antichain debe cumplir con $y_i < x_i$ en algunos coordinar $i$, y hay un número finito de posibilidades; hacemos uso de la inducción, como antes.
Dickson lema dice que ${\mathbb N}^k$ es un bien cuasi-orden; de manera más abstracta, se puede demostrar que el producto de dos wqos es un wqo. La teoría de la wqos es muy rica. Robertson-Seymour teorema, cuya prueba fue terminado en el año 2004 y se extiende por cerca de 500 páginas, dice que los gráficos bajo un orden adecuado formar un wqo.
