¿Son equivalentes estas dos definiciones de proyección ortogonal en un espacio de Hilbert general?

Question

Estoy tomando un curso a nivel de posgrado en probabilidad y hemos empezado con algunos resultados en el análisis funcional.

Una cosa que siento que no entiendo bien es la definición de una proyección ortogonal en el contexto de los espacios de Hilbert.

Y yo no era capaz de encontrar suficientemente exhaustiva discusión de la definición (por ejemplo, no aquí).

Para este fin, deje un espacio de Hilbert, $H$, posiblemente infinito dimensional y no necesariamente separables. Vamos cerrado convexo subconjunto $S \subseteq H$.

1) por Un lado proyección ortogonal $P_S :H \to S$ se define como la asignación de cada elemento $x \in H$ a la única mejor aproximación de las $x$$s_0 \in S$. Que es $s_0 \in S$ tal que $$\|s_0 -x\| = \inf\{s \in S| \|x- s\|\}\,. $$ (Existence of such $P_s$ eventually implies that $H = S\oplus S^{c}$)

2) Por otro lado, en varios lugares he visto la definición de la proyección ortogonal a ser un operador de $P:H \to H$: $P^2 =P$$P^* = P$.

$\text{ }$

Aquí hay dos cosas de las que estoy tratando de averiguar:

A. Son las dos definiciones idénticas en un (infinito) inseparable caso?

Para ir desde 1) a 2) parece ser bastante sencillo. Sin embargo, no pude averiguar si la definición 2) implica 1) en un (infinito) inseparable caso.

B. La otra cosa, si el conjunto de $S$ no es cerrado bajo la adición del operador $P$ podría no ser lineal, por lo que es la proyección ortogonal requiere ser lineal?

Agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Aquí está lo que usted puede decir, en general, sin topología, la integridad o la otra estructura:

Teorema [Proyección]: Vamos a $X$ ser real o complejo interior del espacio del producto, y deje $M$ ser un subespacio de $X$. Deje $x\in X$ ser dado. A continuación, $m\in M$ satisface $$ \|x-m\| = \inf_{m'\in M}\|x-m'\| $$ el fib $$ (x-m) \asesino M. $$ Si $m$ existe, $m$ es único.

Si $X$ es real o complejo interior del espacio del producto y $M$ es un subespacio lineal de $X$, a continuación, defina $\mathcal{D}_M$ para el conjunto de la $x\in X$ para los que exista $m\in M$ tal que $(x-m)\perp M$, y definir $P_M : \mathcal{D}_M\subseteq X\rightarrow X$, de modo que $P_Mx=m$. Es fácil comprobar que $P_M$ está definido por $m\in M$ $P_M m = m$ porque $(m-m)\perp M$. Por lo $M\subseteq \mathcal{D}_M$ siempre.

Teorema [Proyección del Operador 1]: Vamos a $X$ ser real o complejo interior del espacio del producto, y deje $M$ ser un subespacio lineal de $X$. Deje $P_M : \mathcal{D}_M \subseteq X\rightarrow X$ ser la proyección del operador se describe anteriormente. A continuación, $\mathcal{D}_M$ es un subespacio lineal de $X$ contiene $M$; $P_M$ es lineal en su dominio; y $P_M$ tiene las siguientes propiedades: \begin{align} \mbox{idempotent:}\;\;\; & P_M^2 x = P_Mx,\;\;\; x\in\mathcal{D}_M,\\ \mbox{symmetric:}\;\;\; & \langle P_M x,y\rangle = \langle x,P_M y\rangle,\;\;\; x,y\in\mathcal{D}_M,\\ \mbox{bounded:}\;\;\; & \|P_M x\| \le \|x\|,\;\;\; x\in\mathcal{D}_M. \end{align}

Supongamos $X$ es un producto interior en el espacio, que $M\subset X$ es un subespacio lineal de $X$, y supongamos que $x \in X$. Para cualquier $n =1,2,3,\cdots$ existe $m_n \in M$ tal que $$ \|x-m_n\| < \inf_{m'\in M}\|x-m'\| + \frac{1}{n}. $$ Resulta que $\{ m_n \}$ es una secuencia de Cauchy. Por lo tanto, si $M$ es un subespacio completo de $X$, $\lim_n m_n = m$ existe, y se puede mostrar por la continuidad que $\|x-m\|=\inf_{m'\in M}\|x-m'\|$. Asumiendo $M$ se completa también da $m\in M$ porque $M$ es cerrado. Por lo tanto, $\mathcal{D}_M=X$ en este caso, conduce a una proyección ortogonal $P_M : X\rightarrow X$.

Un ejemplo notable donde $\mathcal{D}_M= X$ es donde: $M$ es finito-dimensional. Esto se deduce porque $M$ es completa, pero puede también demuestran que este directamente por la elección de una base ortonormales $\{e_n\}_{n=1}^{N}$ $M$ y la verificación de que $$ \left(x - \sum_{n=1}^{N}\langle x,e_n\rangle x_n\right)\asesino M. $$ Por lo que la proyección ortogonal en $M$$P_M = \sum_{n=1}^{N}\langle x,e_n\rangle e_n$.

Si $M$ es un subespacio cerrado de un espacio de Hilbert $H$, $M$ es completa y, por lo tanto, $\mathcal{D}_M=H$. En este caso, $P_M$ está definido en todos los de $H$, es lineal, y satisface $P_M=P_M^2=P_M^{\star}$.

EJEMPLO: Vamos a $X=L^2[0,1]$. Deje $M_r = \{\chi_{[0,r]}f : f \in L^2[0,1]\}$. Para cada una de las $f \in X$, es fácil comprobar que $$ (f - \chi_{[0,r]}f) \asesino M_r. $$ Por lo tanto, $P_{M_r}f = \chi_{[0,r]}f$ y, sin comprobar, $P_{M_r}$ debe ser lineal y satisfacer $$ P_{M_r}^{2} = P_{M_r} = P_{M_r}^{\estrella},\\ \|P_{M_r}f\| \le \|f\|,\;\;\; f\en L^2[0,1]. $$

Teorema [Proyección del Operador 2]: Vamos a $X$ ser real o complejo interior del espacio del producto y deje $P$ ser un operador lineal en $X$ tal que $P=P^2$ $P$ es simétrica. A continuación, $P$ es la proyección ortogonal sobre $\mathcal{R}(P)$.

Prueba: Para $P$ como se ha dicho, vamos a $M=P(X)$ ser el rango de $P$. A continuación, $M$ es un subespacio, y, para cada $x\in X$, uno tiene $$ (x-Px)\asesino M $$ debido a $\langle x-Px,Py\rangle = \langle Px-P^2x,y\rangle= \langle Px-Px,y\rangle=0$ todos los $y\in X$. Por lo tanto, $P$ es la proyección en orthgonal $M$. $\;\;\;\blacksquare$.

Answer 2

Aunque a veces se consideran proyecciones sobre cerrado subconjuntos convexos $S$, el término "proyección ortogonal" generalmente se refiere a un operador lineal, que es el caso donde $S$ es un subespacio lineal cerrado (su definición (2)). El subespacio en cuestión es el rango del operador $P$, que está cerrado por ejemplo porque es el espacio nulo de $I - P$.