¿Cuántas contraseñas de 8 caracteres hay si se usa al menos una de cada A-Z, a-z, y 0-9?

Question

¿Cuántas contraseñas de 8 caracteres hay si cada carácter es de la A a la Z, de la A a la Z o de la 0 a la 9, y dónde se utiliza al menos un carácter de cada uno de los tres tipos?

El complemento de "al menos uno de cada" es "o bien A-Z, a-z, o 0-9 NO se utiliza"

Definí un conjunto $ \left\lvert A \right\rvert =62^8$ todas las contraseñas posibles. Luego definí tres conjuntos más: $B$ - esas contraseñas sin A-Z, $C$ - esas contraseñas sin a-z, y $D$ - esas contraseñas sin 0-9.

$$ \left\lvert B \right\rvert = 36^8, \quad \left\lvert C \right\rvert =36^8, \quad\mbox { and } \left\lvert D \right\rvert = 52^8$$

Luego, contando el complemento, $ \left\lvert A \right\rvert - \left\lvert B \cup C \cup D \right\rvert = \left\lvert A \right\rvert - \left\lvert B \right\rvert - \left\lvert C \right\rvert - \left\lvert D \right\rvert + \left\lvert B \cap C \right\rvert + \left\lvert B \cap D \right\rvert + \left\lvert C \cap D \right\rvert $ .

$ \left\lvert B \cup C \right\rvert ={}$ Aquellos sin A-Z y sin a-z ${}= 10^8$ etc.

Por lo tanto, tengo $$62^8 - 36^8 - 36^8 - 52^8+ 10^8 + 26^8 + 26^8$$ como la respuesta.

No estoy seguro de haber contado bien mis sets, ¡por favor, hágamelo saber!

Answer 1

Depende de si el orden importa o no. ¿Se permite la repetición de números y letras, etc.? Eso dictará si va a utilizar una permutación o una combinación.

Answer 2

Si el orden es importante (para que $12345678$ y $87654321$ serían contraseñas diferentes, por ejemplo) y se permite la repetición, entonces lo has hecho exactamente bien.

Si el pedido no lo hace y se permite la repetición, entonces tenemos que proceder de otra manera. Necesitaremos una de cada una de las letras mayúsculas, las minúsculas y los dígitos, con la otra $5$ elegidos de la bolsa general. Por lo tanto, el número total en ese caso es $$26\cdot 26\cdot 10\cdot 62^5.$$

Si nos no permiten la repetición, y el orden no importa, entonces tenemos $$\binom{26}{1}\cdot\binom{26}{1}\cdot\binom{10}{1}\cdot\binom{59}{5}$$ opciones.

No quiero tratar el caso de que no tengamos asuntos de repetición y orden a menos que tenga que hacerlo, pero hazme saber si esa es la circunstancia.