Covarianza entre el proceso de Wiener y la integral estocástica

Question

Quiero calcular $cov($$ w_t $ , $ \int_0^{t}s^{n}dw_s) $ . I have tried integration by parts: $$ \int_0^{t}s^{n}dw_s = t^{n}w_{t} - n\int_{0}^{t}s^{n-1}w_sds $$ Further, I think to use this formula $ n $ times, but I can't do it on this step. My idea was to get the equation at the end that will contain next components (maybe with some coefficients): $ \int_0^{t}sdw_s $, $ \int_0^tw_sds $, $ w_t$ y la componente de que si cuento una expactación matemática a partir de ella obtendré el

$cov($$ w_t $, $ \int_0^{t}s^{n}dw_s)$ (la expectativa matemática para las tres primeras componentes que conozco). Y a partir de esta ecuación contaría la covarianza, pero no entiendo cómo puedo continuar. Estaré encantado de cualquier idea.

Answer 1

La forma más inteligente es, como sugirió @Did, utilizar la isometría de Itô. Sin embargo, también puedes utilizar la fórmula de integración por partes:

$$\int_0^t s^n \, dW_s = t^n W_t - n \int_0^t s^{n-1} W_s \, ds.$$

Multiplicando ambos lados por $W_t$ y tomando la expectativa obtenemos

$$\begin{align*} \mathbb{E} \left( W_t \cdot \int_0^t s^n \, dW_s \right) &= t^n \underbrace{\mathbb{E}(W_t^2)}_{t} - n \int_0^t s^{n-1} \underbrace{\mathbb{E}(W_s W_t)}_{\min\{s,t\}=s}\,d s \\ &= t^{n+1} - n \int_0^t s^n \, ds =\frac{1}{n+1} t^{n+1}.\end{align*}$$

Answer 2

Utilice generalización de la isometría de Ito (*)

$$cov(w_t , \int_0^{t}s^{n}dw_s) = E[w_t\int_0^{t}s^{n}dw_s] = E[\int_0^{t} dw_s\int_0^{t}s^{n}dw_s] = E[\int_0^{t}s^{n}ds] = \int_0^{t}s^{n}ds $$

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(*) Isometría de Ito:

$$E[(\int_0^{t}x_sdw_s)^2] = E[\int_0^{t}x_s^2ds]$$

Generalización:

$$E[\int_0^{t}x_sdw_s\int_0^{t}y_sdw_s] = E[\int_0^{t}x_sy_sds]$$

Answer 3

La solución es $$cov(w_t, \int_0^ts^ndw_s)=E(w_t - Ew_t)(\int_0^ts^ndw_s- E\int_0^ts^ndw_s)=E(w_t\int_0^ts^ndw_s-w_tE\int_0^ts^ndw_s)=\int_0^ts^nds-Ew_tE\int_0^ts^ndw_s=\int_0^ts^nds=\frac{t^{n+1}}{n+1}$$