Contador Ejemplo de Funciones Continuas

Question

Me encontré con esta pregunta:

Pregunta: Vamos a $f$ ser una verdadera función continua definida en [0,1] tal que $f(0) = 0$$f(1) = 1$. Demostrar o dar un contraejemplo a la siguiente:

a) Si $f'$ existe una.e. en $[0,1]$,$\int_0^1 f' dx = 1$.

b) Si $f'$ es absolutamente continua en $[0,1]$,$\int_0^1 f' dx = 1$.

c) Si $f'$ es no decreciente en $[0,1]$,$\int_0^1 f' dx = 1$.

Pensamientos: me siento como que sólo se puede dar $f'(x) = x^{1/2}$ para todas las tres partes y por lo tanto tengo un contador de ejemplo para las tres condiciones? Me estoy perdiendo algo o es esto correcto?

Answer 1

Crear una función que es constante en cada tercio medio en la construcción del conjunto de Cantor. Para hacerla continua y, sin embargo, pasar a través de $(0,0)$$(1,1)$, usted necesita 'lentamente' ir arriba. La manera de hacerlo es de forma iterativa construir la función de la definición que sobre el medio tercios en primer lugar, que la función en cada uno de los terceros tiene un valor intermedio entre el valor en la adyacente tercios en pasos anteriores de el Cantor de la construcción. El resto de valores de la función puede ser obtenido por los límites.

Entonces queda por demostrar que la función resuelve (a) y (c). Por otro lado, (b) es verdadera, sino que implica un poco justo de la maquinaria. ¿Cuánto sabes?