$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(0)=1, f(x+y) \leq f(x)f(y)$. Mostrar que si $f$ continua en $x=0$, $f$ es continua en a $\mathbb{R}$.

Question

Hasta el momento me han demostrado que la igualdad sólo se mantiene cuando se $x=0$ o $y=0$. También me he enterado de que $f(nx) \leq f(x)^n$ natural $n$ (de lo contrario la suma no tiene sentido).

Pero no sé cómo deducir la continuidad. Mi idea es mostrar que con la secuencia criterio de continuidad, pero la única cosa que he demostrado es que para $n \rightarrow 0$ la función de $f(nx) \rightarrow f(0)=1$, lo que no ayuda mucho.

Yo también podría utilizar ese $f$ es continua en a $x=0$ hacer cualquier $f(x)$ un producto de $f(1)$, pero sólo se mantiene para los números naturales, por lo tanto no conduce a una solución.

Agradecería sugerencias, no soluciones. Gracias por la ayuda.

Answer 1

Sugerencia

$f$ es continua en a $x_0$ si $$\forall \epsilon>0\exists\delta>0:|h|<\delta\implies |f(x_0+h)-f(x_0)|<\epsilon.$$

Ahora, $$f(x_0+h)\le f(x_0)f(h)$$ and since $f$ is continuous at $0$ we have that $f(h)\a 1$ as $h\to 0.$

Answer 2

Sugerencia:

Tome $x=x_0$ $y=\frac{1}{n}$

$$f\left(x_0+\frac{1}{n}\right) \leq f(x_0)f\left(\frac{1}{n}\right)$$

Ahora tome $x=x_0+\frac{1}{n}$ $y=-\frac{1}{n}$

$$f\left(x_0+\frac{1}{n}\right) \geq \frac{f(x_0)}{f\left(-\frac{1}{n}\right)}$$

Ahora hacer $n \rightarrow \infty$