Si yo soy el examen de dos conjuntos de $X$$Y$, cada una con la topología discreta, se $X\times Y$ tener un discreto topología? Mi entendimiento es que sí. Yo creo esto porque el $X\times Y$ es el producto finito de espacios discretos. Cada punto en $X$ es abierto y cada punto en $Y$ está abierto, y cada punto en $X\times Y$ está abierto. Por lo tanto $X\times Y$ tiene una topología discreta.
Es este entendimiento correcto?
Una base para la topología producto en $X \times Y$ es obtenida por la toma de bases de $\left\{ U_\alpha\right\}$ $\left\{ V_\beta \right\}$ de cada espacio de $X$$Y$, respectivamente: a continuación, $\left\{ U_\alpha \times V_\beta\right\}$ es una base de $X \times Y$. Ya que con la topología discreta que puede tomar como bases de cada espacio de todos los puntos en cada espacio, una base para $X\times Y$ es el conjunto de todos los puntos de $(x,y) \in X \times Y$. Por lo $X \times Y$ tiene la topología discreta, de hecho.
Dado que la proyección de las funciones de $p_1:X\times Y\rightarrow X$ $p_2:X\times Y\rightarrow Y$ son continuos, tome $(x,y)\in X\times Y$. Claramente: $$\{(x,y)\} = p_1^{-1}(\{x\}) \cap p_2^{-1}(\{y\})$$
Pero desde el topologías en $X$ $Y$ son discretos, y $p_1$ $p_2$ son continuos, esto significa que $p_1^{-1}(\{x\})$ $p_2^{-1}(\{y\})$ están abiertas en $X\times Y$.
Así que el singleton set $\{(x,y)\}$ es la intersección de dos conjuntos, y por lo tanto es un conjunto abierto.
Nota, esto hace claro por qué esto funciona para finito de productos, pero no infinita de productos - un singleton en un infinito producto sería el infinito intersección de abrir sets, lo que no está garantizado a ser abierto.
Sí, esto es correcto. Si desea una formales de razonamiento, se ve algo como esto.
Hacer una base para la topología de las $X$ $Y$ al permitir que cada uno de los elementos (singleton) subconjunto de ser un elemento base. Esto produciría la topología discreta. Ahora cada subconjunto de $X\times Y$ que contiene un solo punto es un producto de base de dos elementos, y por lo tanto una base del mismo elemento, y por lo tanto tenemos topología discreta.
Sí. Finito de productos de espacios discretos son de nuevo discretos. Tanto en $X$ $Y$ tienen como base el singleton sets, y el producto de la topología en $X\times Y$ tendrá como base, el producto de singleton conjuntos, lo que significa que cada punto es abierto y cerrado, y por lo tanto la topología en $X\times Y$ es discreto.
Un infinito producto de espacios discretos no necesita ser discretos sin embargo.
Su único defecto es que cuando dices", y cada punto en $X\times Y$ está abierto". Esto es cierto, pero es lo que hay que justificar. Para ello, sólo tienes que decir "tomar un punto de $(a,b)$ en el producto, a continuación, $\{a\}$ está abierto en $X$ $\{b\} $ está abierto en $Y$. Por definición de la topología producto, $\{a\}\times \{b\}=\{(a,b)\}$ está abierto en $X\times Y$."
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