Exterior derivado = cambio infinitesimal en forma diferenciada?

Question

Para simplificar voy a trabajar en $M=\mathbf R^2$.

Dado $f\in C^\infty(M)=\Omega^0(M)$, su exterior derivado $df$ es una 1-forma que se come un vector tangente y escupe la mejor aproximación lineal de (el cambio) $f$ si caminamos a lo largo de la dirección especificada por el vector. En otras palabras, dado un punto de $(x,y)\in M$ y un vector tangente $(dx,dy)\in T_{(x,y)}M$, nuestro 1 formulario a- $df=\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}\,dx+\frac{\partial f}{\partial y}\,dy$ come $(x,y,dx,dy)\in TM$ y escupe un número real que se supone que va a ser el cambio infinitesimal en $f$.

La parte realmente nunca envuelto en mi cabeza es el exterior derivado de formas superiores. En las coordenadas, es generalmente definida como $d(g\,dx+h\,dy)=dg\wedge dx+dh\wedge dy$ (y análogamente para las formas superiores). Pregunta: puedo interpretar que este sea el "cambio infinitesimal en $\omega=g\,dx+h\,dy$"?

Por lo tanto, en lugar de pensar de $d:\Omega^k(M)\to\Omega^{k+1}(M)$, creo que de $d\omega$ como comer un vector tangente y escupir el cambio infinitesimal en $\omega$? Resumen: No $X\lrcorner\, d\omega$ representan el cambio infinitesimal en $\omega$ en la dirección $X$?

Yo he observado que $X\lrcorner\,d\omega$ es "la mitad" de Cartan de la fórmula mágica, que también se supone para representar el cambio infinitesimal en $\omega$ si nos flujo a lo largo de $X$, y esta completamente confundido mí. En este punto, ni siquiera estoy seguro de que sé lo que quiero decir por "infinitesimal de variación en $\omega$" más. Hay alguna esperanza en un intento de comprender las cosas de la manera en que actualmente estoy tratando de, o debo abandonar todo esto y solo vivir con los axiomas?

Answer 1

Pensar sobre el caso especial de cálculo vectorial en $\Bbb R^3$, donde el exterior derivado reduce el gradiente, la curvatura y la divergencia. Los dos últimos, realmente no puede ser pensado de esta manera - que no captan la totalidad de primer orden de la variación de un formulario, sólo la coordenada-invariante de los componentes que entran en juego en el teorema de Stokes.

El hecho de que estamos a tirar algunas información es clara en la coordenada de la fórmula para el caso general - por tomar la parte antisimétrica de la derivada parcial estamos descartando toda la parte simétrica, por lo que una forma (aparte de una función o de una forma de grado superior) puede variar en un simétrica de la moda y a la vez estar cerrado.

La forma en que pienso en el exterior derivada es como "el operador que hace que el teorema de Stokes es verdad" - es decir, como algo en el espíritu de

$$ d\omega(X_1, \ldots, X_n) = \lim_{r \searrow 0} \frac1{r^{n-1}}\int_{\partial \square(n,r)} \omega $$ where $\cuadrado(n,r)$ is a "cuboid" with "edges" generated by the vectors ${rX_1, \ldots, rX_n}$. En la minúscula imagen de esta integral en la frontera termina siendo una cierta suma de las diferencias finitas, a través de oponerse a la cara, así que usted termina con un diferencial de primer orden del operador.

Yo no soy consciente de que una interpretación útil que separa el "nuevo vector de entrada" al igual que usted está buscando - esto parece poco probable debido precisamente a la antisymmetrization, que mezcla la que la "dirección de la diferenciación" con todos los otros vectores. Ciertamente no se puede expresar $X\lrcorner d\omega$ en términos de los derivados en el $X$ sentido solo.

La idea de las direccionales cambio infinitesimal en una forma mejor es capturado por tomar una derivada covariante, pero por supuesto, esto requiere que el extra de la estructura de una conexión. Esto debería ser ninguna sorpresa - después de todo, 1-formas son básicamente la misma cosa como vectores, y necesitamos una conexión a diferenciar los vectores en un familiar de la moda.