Demostrar que $M(t)^2 - t$ es una martingala, $M(t)$ es una caminata aleatoria simétrica

Question

Demostrar que $M(t)^2 - t$ es una martingala, $M(t)$ es una caminata aleatoria simétrica.

Mi pregunta aquí sobre todo tiene que ver con el $F_{t}$ medición de la $M(t)^2 - t$ donde $F_{t} = \sigma (X_1 , X_2, ... , X_t)$.

Si una función $M(t)$ es un medibles wrt $F_{t} = \sigma (X_1 , X_2, ... , X_t)$, es siempre cierto que su plaza es también la $F_{t}$ medible?

Answer 1

De hecho, la composición de funciones medibles sigue siendo medibles. En su caso, ambos, $M(t)$ $x\to x²$ son medibles.