Dado $a_1...a_k(b_1b_2..b_l)={m \over n}$ ¿cómo puedo demostrar que el periódico de los números decimales son racionales?
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Considerar el decimal $r=0.b_1b_2\ldots b_nb_1b_2\ldots$, es decir, un decimal simple de período de $n$. Multiplicar $r$$10^n$:
$$10^n r = b_1b_2\ldots b_n.b_1b_2\ldots b_n \ldots$$
o
$$(10^n-1) r = b_1b_2\ldots b_n$$
Recuerde que $b_1b_2\ldots b_n$ es un número entero, por lo que el $r$ es un número racional después de la reducción a la forma más simple.
Para más general decimal $0.a_1a_2 \ldots a_m b_1b_2\ldots b_nb_1b_2 \ldots$, tenga en cuenta que $0.a_1a_2 \ldots a_m$ es un número racional en sí y de por sí, dejando el resto como un número racional ($10^{-m}$) veces la repetición de decimales, por lo que el caso más general también deja un número racional.
andybenji
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2007
Me limitaré a considerar el caso en que $a = \frac{m}{n} \in \mathbb{Q}$ entre $0$$1$. Este es un truco enseñó mi maestro de la escuela secundaria:
En lugar de simplemente probar simplemente la existencia, yo le suministro un método constructivo.
Supongamos que tenemos $$a = .a_1a_2a_3\ldots a_na_1a_2$$so that the period is $n$. Then we may multiply to get $$10^n \cdot a = a_1a_2\ldots a_n.a_1\ldots$$
A continuación, tratar de restar estos dos para obtener $$10^n*a - a = a_1a_2 \ldots a_n.00000\ldots$$ And divide to get $$a = \frac{a_1\ldots a_n}{10^n-1}$$Usted puede reducir esta fracción (porque no es necesario que sea en su mínima expresión), y voilá, ya está hecho!
Leon Katsnelson
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274
Supongamos $x \in (0,1)$ $x = \sum_{k=1}^\infty x_k \frac{1}{10^k}$ donde $x_{k+p} = x_k$ algunos $p>0$. A continuación,$x = \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=1}^p x_{k+np} \frac{1}{10^{k+np}} = \sum_{n=0}^\infty (\sum_{k=1}^p x_{k} \frac{1}{10^{k}}) \frac{1}{10^{np}} = \frac{\sum_{k=1}^p x_{k} \frac{1}{10^{k}}}{1-\frac{1}{10^{p}}}$.
user49685
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1974
Supongamos que queremos demostrar que $\color{red}{a_1a_2a_3...a_n}.\color{blue}{b_1b_2b_3...b_m (c_1c_2c_3...c_k)}$ (donde la parte roja es la parte entera, y la de azul es la parte fraccionaria) es un número racional, en primer lugar, que se dividió así:
$\begin{align} \color{red}{a_1a_2a_3...a_n}.\color{blue}{b_1b_2b_3...b_m (c_1c_2c_3...c_k)} & = \color{red}{a_1a_2a_3...a_n}.\color{blue}{b_1b_2b_3...b_m} + 0.\underbrace{00...00}_{m \mbox{ zeroes}}(c_1c_2c_3...c_k) \\ & = \color{blue}{\frac{a_1a_2a_3...a_nb_1b_2b_2...b_m}{10^m}} + \frac{\color{green}{0.(c_1c_2c_3...c_k)}}{10^m} \quad \mathbf{(1)} \end{align}$
Como podemos ver, la parte azul ya es racional, ahora vamos a probar que la parte verde es también racional, como este:
Deje $\alpha = 0.(c_1c_2...c_k)$, $10^k\alpha = c_1c_2c_3...c_k.(c_1c_2c_3...c_k)$ (i.e, multiplicando por $10^k$, podemos desplazar el punto decimal k dígitos a la derecha), por lo tanto tenemos:
$$\begin{align} 10^k\alpha &= c_1c_2c_3...c_k.(c_1c_2c_3...c_k) \\ \alpha &= 0.(c_1c_2...c_k) \end{align}$$
Restar al lado del otro, tenemos: $(10^k - 1)\alpha = c_1c_2c_3...c_k$, lo $\alpha = \dfrac{c_1c_2c_3...c_k}{10^k - 1}$, lo que significa que: $\color{red}{0.(c_1c_2...c_k) = \dfrac{c_1c_2c_3...c_k}{10^k - 1}}$
Ejemplo
- $0.(3) = \dfrac{3}{10^1 - 1} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$
- $0.(71) = \dfrac{71}{10^2 - 1} = \dfrac{71}{99}$
La sustitución de la parte roja de arriba a (1), tenemos: $\begin{align} \color{red}{a_1a_2a_3...a_n}.\color{blue}{b_1b_2b_3...b_m (c_1c_2c_3...c_k)} & = \color{red}{a_1a_2a_3...a_n}.\color{blue}{b_1b_2b_3...b_m} + 0.\underbrace{00...00}_{m \mbox{ zeroes}}(c_1c_2c_3...c_k) \\ & = \color{blue}{\frac{a_1a_2a_3...a_nb_1b_2b_2...b_m}{10^m}} + \frac{\color{green}{0.(c_1c_2c_3...c_k)}}{10^m}\\ & = \color{blue}{\frac{a_1a_2a_3...a_nb_1b_2b_2...b_m}{10^m}} + \color{blue}{\frac{c_1c_2c_3...c_k}{10^m(10^k - 1)}}\end{align}$
La suma de 2 números racionales son, por supuesto, racional, de ahí que se hace.
Ejemplo
Expresa los siguientes números en términos de la proporción de 2 enteros: $0.5(2)$
Tenemos, $0.5(2) = 0.5 + 0.0(2) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{0.(2)}{10}$
Tratamos de expresar $0.(2)$ en términos de fracción, vamos a $\alpha = 0.(2) \quad \mathbf{(2)}$,$10 \alpha = 2.(2) \quad \mathbf{(3)}$. Restando (2) de (3) se obtiene: $9 \alpha = 2 \Rightarrow \alpha = \dfrac{2}{9}$, así:
$0.5(2) = 0.5 + 0.0(2) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{0.(2)}{10} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{9.10} = \dfrac{47}{90}$.
thorb65
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111
La repetición del período en un decimal puede ser llevado a ser de un dígito en una base más ancha. Por ejemplo, $.123123123$ puede ser considerado como de tres dígitos de la base $1000$: $.123,123,123$. Por lo tanto, la repetición de decimal secuencias son sólo una generalización de la repetición de dígitos, como $.333333$.
Además, sin pérdida de generalidad, podemos factor de la unidad que se repite y reemplazarlo con 1. Por ejemplo, $.33333...$ hace $3\times .1111...$. Del mismo modo, si tenemos $.123,123,123,...$ podemos reescribir que como $123\times .001,001,001,....$.
Bien, ahora solo tenemos que mostrar que los números como $.1111...$, $.010101...$, y $.001001001...$ son racionales. Pero estos son solo sumas de descender poderes de una base: $\sum_{n=1}^\infty{\frac{1}{b^n}}$ donde $b$ es de 10, 100, 1000 o lo que sea potencia de diez base elegimos para el período dado de longitud (o, como lo fueron, la anchura de dígitos).
Por comodidad, vamos a cambiar la suma de ir de cero, por lo que se incluye el término 1, que de inmediato nos resta: $(\sum_{n=1}^\infty{\frac{1}{b^n}}) - 1$. Así que ahora tenemos la suma en la forma de un famoso de alimentación de la serie , de la que conocemos la forma cerrada (y sabemos que converge desde $1/b$ es menor que 1). A continuación, utilizamos la conocida identidad para reducir este a $(\frac{1}{1-\frac{1}{b}}) - 1 = (\frac{b}{b-1})-1 = \frac{b - (b - 1)}{b - 1} = \frac{1}{b - 1}$.
Por ejemplo, en el caso de $.001001001...$, la base de la $b = 1000$, y así que esto es igual a $\frac{1}{1000 - 1} = 1/999$. Gee, sabemos que ya de hacer una división larga, pero hemos llegado al resultado de que el otro extremo: la suma de la serie infinita para recuperar la fracción.
Ya hemos establecido que el otro repitiendo los decimales son sólo el producto de un número entero dígitos como 123 y la repetición de una decimal basado en 1. El producto de un número entero y racional es racional, por lo que todos los otros repitiendo decimales son racionales también. Y, por supuesto, podemos añadir un entero arbitrario, parte a, de forma racional, de manera que cualquier número con un decimal de repetición parte fraccionaria es racional.
