La dependencia de operador de topologías en un $C^*$ álgebra en la representación

Question

Deje $A$ ser $C^*$ álgebra. Dada una representación fiel $\pi:A\to \mathcal{B}(H)$, podemos definir el débil operador de topología con respecto a $\pi$ como inicial con respecto a los mapas de $a\mapsto \langle \pi(a) x,y\rangle$ por cada $x,y\in\mathcal{H}$. Sin embargo, esta definición depende de nuestra representación $\pi$.

Son estos operador topologías intrínseca a $A$, o los distintos fieles representaciones de inducir diferentes débil operador, fuerte, operador, etc. topologías?

Answer 1

No, ellos no son intrínsecas. Por eso necesitamos cosas como Sakai del Teorema que nos diga qué C$^*$-álgebras son álgebras de von Neumann en una representación adecuada.

Por ejemplo, supongamos $A$ ser cualquier simple infinito-dimensional C$^*$-álgebra; como $A=C^*_r(\mathbb F_2)$, dicen. Desde $A$ es simple, cualquier representación es fiel. Tome $\pi_1:A\to B(H_1)$ ser la representación inducida por la izquierda-regular la representación. Tome $\pi_2:A\to B(H_2)$ ser una representación irreducible (que es fiel, desde II$_1$-los factores son simple como C$^*$-álgebras).

Entonces tenemos $$ \overline{\pi_1(A)}^{\rm sot, wot, etc.}=L(\mathbb F_2), $$ i$_1$-factor. Mientras $$ \overline{\pi_2(A)}^{\rm sot, wot, etc.}=B(H_2), $$ un tipo de factor.

El ejemplo es un poco más dramática si se toma $A\subset B(H_1)$ a i$_1$-factor (sólo que ahora $A$ es no separable como un C$^*$-álgebra). Tome $\pi_1$ a la identidad, y $\pi_2$ a ser una representación irreducible. A continuación, $\pi_1(A)$ es sot/wot cerrado, mientras que $\overline{\pi_2(A)}^{\rm sot, wot}=B(H_2)$.