Este fenómeno fue estudiado por Odlyzko, Rubinstein y Wolf (con quienes he escrito un artículo sobre los primos).
Definición : Un número entero $d$ se llama campeón de salto para un determinado $x$ si d es el espacio más común entre primos consecutivos hasta $x$ .
Postularon que la brecha más común entre los primos o los campeones de salto son el producto de números primos, es decir, el primer campeón de salto es $2$ . El después de algún tiempo, $2*3 = 6$ se convierte en el próximo campeón de salto. Alrededor de $1.74*10^{35}$ el número $2*3*5 = 30$ se convierte en el próximo campeón de salto. Alrededor de $10^{425}$ el número $2*3*5*7 = 210$ se convierte en el próximo campeón de salto y así sucesivamente.
Esto significa que según sus definiciones, si restamos $1$ de la brecha entre primos entonces los resultados más comunes serían $1$ inicialmente. Esto sería superado por $5$ que a su vez sería superado por $29$ y esto sería superado por $209$ a medida que se avanza en la línea numérica.
Así que es una coincidencia que $5, 29$ son primos pero $209 = 11*19$ no lo es. Esto significa que si usted buscó lo suficientemente grande como para alcanzar el rango de $209$ , en realidad tendrías el conclusión contraria basado en la evidencia experimental de que la brecha entre prime minus $1$ suele ser un no primo.
Pregunta equivalente : Con los argumentos anteriores, su pregunta es equivalente a
¿Con qué frecuencia es el número primitivo $2.3.5.7\cdots p - 1$ ¿un primo?
Referencia:
- Odlyzko, A.; Rubinstein, M.; y Wolf, M. "Saltando campeones". Experiment. Math. 8, 107-118, 1999.
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Debido a que el espacio entre primos consecutivos es siempre un número par, excepto para $3-2=1$
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¿Es una coincidencia que 15 nunca aparezca como "longitud de salto"?
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Lo hace, $p_{282}=1831, p_{283}=1847$ y luego otra vez casi inmediatamente, $p_{295}=1933,p_{296}=1949$ .
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Nota general: es tentador, pero arriesgado, leer demasiado en los cálculos numéricos para números tan pequeños. En este caso, hay muchos primos pequeños, por lo que cualquier lista aleatoria de números Impares pequeños va a contener muchos primos. Para estudiar algo así, yo querría mirar a primos mucho más grandes.
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Puede asumir La conjetura de Cramer : $g_n \approx O\left((\log{p_n})^2\right)$ y sacar una o dos conclusiones, como $\left((\log(1000))^2\right)\approx 48$ , considere sólo las brechas pares, es decir $24$ y hay $14$ primos (o "saltos") entre $1$ y $48$ (excluyendo $2$ ), por lo que la probabilidad es $\frac{14}{24}=\frac{7}{12}>\frac{1}{2}$ .
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Absolutamente de acuerdo con @lulu en esto. "Ley de los números pequeños". Una mirada rápida a oeis.org/A046933 parece confirmar tu hipótesis. Pero mira el "archivo b": sigue siendo mayoritariamente primos, pero el 9, el 15 y el 25 aparecen más a medida que se avanza.
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¡estos son unos comentarios súper perspicaces! Así que, si lo he entendido bien, como los primos > 2 son siempre desiguales, su espacio primo es siempre par y el espacio primo - 1 es, por tanto, siempre desigual, y al mirar pequeño números casi todos (excepto el 9 y el 15) los números desiguales son (por cierto) primos o 1 porque la brecha de primos es todavía demasiado pequeña?