Demostrar que una matriz no es diagonalizable

Question

Tengo una pregunta:

Demuestre que la matriz:

$$A = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$$ no es diagonalizable.

Entonces, ¿la estrategia general es 1) encontrar los vectores propios y luego 2) demostrar que la matriz de vectores propios no es invertible? Si son invertibles, entonces tiene una solución única a ( $\lambda \bf {I - A)x = 0}$ lo que implicaría que son linealmente independientes. ¿Si es linealmente independiente, entonces sería diagonalizable? Estoy siguiendo este teorema:

introduzca aquí la descripción de la imagen

Así que tengo que encontrar primero el valor propio que es 2 porque el 2 está en la diagonal de esta matriz en una matriz triangular:

introduzca aquí la descripción de la imagen

Resolución de $\lambda {\bf I - A}$ :

$$\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} $$

Como esta matriz no es invertible, no es diagonalizable. ¿Es esto correcto?

Esta es la prueba en la que me baso:

Answer 1

Lo que ha escrito no es correcto.

Si $\lambda$ es un valor propio de $A$ entonces $A-\lambda I$ es nunca invertible, no importa si $A$ es diagonalizable o no.

Por ejemplo, su "prueba" puede utilizarse para demostrar que la matriz $I$ (la matriz identidad) tampoco es diagonalizable, lo cual es claramente absurdo.

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Una matriz es diagonalizable si existe una matriz invertible $P$ tal que $A=P^{-1}DP$ y $D$ es una matriz diagonal. Probablemente has comprobado en clase (o en un libro de texto del que estás aprendiendo lo has hecho) que esto ocurre si y sólo si existe $n$ eigenvectores linealmente dependientes para la matriz.

Este es de lo que debes partir. En tu caso, la matriz sólo tiene un valor propio, y ese valor propio sólo tiene un vector propio (hasta, por supuesto, el escalado), y a partir de ahí, podemos concluir que la matriz no es diagonalizable.