La unidad de la forma $n\alpha + m \beta \sqrt{d}$ real cuadrática campos

Question

Deje $d$ ser positivo plaza libre entero igual a $2$ o $3\mod 4$. El grupo de la unidad de $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$, denotado $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]^\times$, es generada por $\pm 1$ e $p+q\sqrt{d}$, donde $p/q$ es el primer convergente en la que el recurrente fracción de expansión de $\sqrt{d}$. Tomemos $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}$ tal que $\gcd(\alpha, \beta)=\gcd(\alpha,d)=1$. Mi pregunta es, para cada coprime par $(\alpha,\beta)$ ¿existe $n,m \in \mathbb{Z}$ (también necesariamente coprime y $n$ coprime a $d$) tales que

$$ (n\alpha) + \sqrt{d} (m\beta) \in \mathbb{Z}[\sqrt{d}]^\times? $$

Answer 1

He aquí un contraejemplo . . .

Deje $U$ el conjunto de unidades de $\mathbb{Z}{\large{[}}\sqrt{2}\,{\large{]}}$.

A continuación, $U=\{\pm x_n\pm y_n\sqrt{2}\mid n\in\mathbb{N}_0\}$, donde $\mathbb{N}_0$ es el conjunto de números enteros no negativos, y $x_n,y_n$ son definidos por la recursividad $$ \begin{cases} (x_0,y_0)=(1,0)\\[4pt] (x_{n+1},y_{n+1})=(x_n+2y_n,x_n+y_n)\\ \end{casos} $$ La aplicación de la recursividad mod $5$, se puede comprobar que

• La secuencia de $(x_n,y_n)$ repite mod $5$ en un ciclo de longitud $12$.$\\[4pt]$
• $x_n\not\equiv 0\;(\text{mod}\;5)$ para $0\le n\le 11$.

De ello se desprende que $x_n\not\equiv 0\;(\text{mod}\;5)$ para todos los $n$.

Por lo tanto, dejando $d=2$ e $\alpha=5$, tenemos un contraejemplo.