¿Cómo encontrar el GCD y el LCM de un factorial y un número grande?

Question

Así que me hicieron esta pregunta:

$n = 2^{16}3^{19}17^{12}$

Encuentre $\gcd(n, 40!)$ y $\operatorname{lcm}(n, 40!)$ .

Entiendo cómo encontrar el GCD y el LCM cuando se trata de dos números realmente grandes (dada su factorización primaria), pero no estoy seguro de cómo hacer algo como esto. Dado que no se nos permite usar calculadoras, supongo que hay una manera de encontrar esto.

EDITAR

Así que lo hice

(piso de cada uno por cierto)

v2(40!) = 40/2 + 40/4 + 40/8 + 40/16 + 40/32 = 38

v3(40!) = 40/3 + 40/9 + 40/27 = 18

v17(40!) = 40/17 = 2

¿Y qué hago a partir de aquí?

Answer 1

Una pista: Encuentre la mayor potencia de $2$ que divide $40!$ . Haga lo mismo para $3$ y $17$ .

Solución:

$n = 2^{16}\cdot 3^{19}\cdot 17^{12}$

$40! = 2^{38} \cdot 3^{18} \cdot 17^2\cdot m$

$gcd(n,40!) = 2^{16} \cdot 3^{18} \cdot 17^2$

$lcm(n,40!) = \dfrac{n\cdot 40!}{gcd(n,40!) } = \dfrac{2^{16}\cdot 3^{19}\cdot 17^{12} \cdot 40!}{2^{16} \cdot 3^{18} \cdot 17^2} = 3\cdot 17^{10}\cdot 40!$

Answer 2

Voy a intentar responder a mi propia pregunta:

Así que basado en lo que tengo (la edición más reciente) tengo:

(piso de cada uno por cierto)

E2(40!) = 40/2 + 40/4 + 40/8 + 40/16 + 40/32 = 38, 38 >= 16 por lo que usamos 16

E3(40!) = 40/3 + 40/9 + 40/27 = 18, 18 <= 19 así que usamos 18

E17(40!) = 40/17 = 2, 2 <= 12 así que usamos 2

A mi entender, esos resultados son los Exponentes de cada uno de los números primos. Por lo tanto GCD(n, 40!) = 2^16 * 3^18 * 17^2

y como ab = gcd(a,b)*lcm(a,b) (cuando a y b son entes positivos) eso significa que LCM(n, 40!)= (40!*n)/(2^16 * 3^18 * 17^2)

¿Ese aspecto es correcto?