Por cayleys teorema de cada grupo $G$ es isomorfo a un grupo de permutación de los elementos de la $G$ sin embargo parece que en muchos casos tratando de expresar ciertos grupos en este caso sólo hace que sea más complicado para su estudio. Pero, al mismo tiempo, después de la lectura de los artículos sobre la terminología específica de grupos de permutación p. ej. https://en.wikipedia.org/wiki/Block_(permutation_group_theory) parece que la gente se han desarrollado técnicas específicas para tratar con la permutación de grupos en particular, lo que me lleva a creer que hay algunos casos en los que un grupo de permutación es la forma más útil para representar a un grupo. ¿Cómo saber cuándo es esto?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Esta pregunta es muy abierta a la opinión, pero me divertí pensando en ello, así que voy a dar mi respuesta:
Es un poco extraña pregunta, porque un montón de trabajo está puesto en la búsqueda de diferentes maneras para representar a un grupo. Esto es debido a que las diferentes formas de representación de un grupo puede ser utilizado para ver información sobre el grupo.
Hay algunas propiedades de un grupo que en realidad dependen de las múltiples representaciones de un grupo. Una tabla de caracteres , por ejemplo, contiene información sobre todos los lineales de las representaciones de un grupo.
La única vez que usted realmente tiene que resolver en una representación es cuando se utiliza un ordenador, cualquier cosa que usted puede hacer a mano, usted probablemente puede hacer muy fácilmente en cualquier representación que usted elija. Pero pensando en cómo le gustaría representar a un grupo puede ser interesante.
Normalmente, las opciones son:
- permutación de grupo (un subgrupo de $Sym(\Omega)$ para algunos de $\Omega$)
- la matriz del grupo (un subgrupo de un $GL(n,\mathbb{F})$ para algunas campo $\mathbb{F})$
- proyectiva de la matriz del grupo (un subgrupo de un $PGL(n,\mathbb{F})$ para algunas campo $\mathbb{F})$
- presentación del grupo
Definitivamente, hay otros, pero yo creo que estos son los más comunes y bien estudiado.
Voy a enumerar algunos factores que ayudan a tomar la decisión y podría añadir a la lista como yo pienso de ellos:
- Preferencia Personal
- Cómo el grupo dado - cambiando la representación es a menudo más trabajo de lo que vale
- Lo que realmente quiere hacer - a veces los algoritmos que trabajan en una determinada representación son demasiado lentos o prácticamente imposible. Por ejemplo, si le preguntas a un equipo para devolver el tamaño de un grupo finito, entonces tendrás mucho más fácil con una permutación grupo que con una presentación a un grupo.
- Cómo quieres presentar los resultados por lo general la gente parece que les gusta ver a una fácil escribir una presentación de un grupo más que una lista de las permutaciones que genera el grupo.
- Lo fácil que es utilizar una determinada representación - una permutación de grupo, por ejemplo, es más fácil de calcular si tiene grado pequeño o una pequeña base.
- lo que la representación ofrece diferentes representaciones ofrecen diferentes lenguaje útil. Carácter de la teoría es un increíblemente útiles en el campo de estudio que trata de representaciones lineales, mientras que la permutación de los grupos de propiedades de transitividad y primitivity.
