Es cierto que $\frac{1}{\pi^{2n+1}} \int_0^{\theta} \ln^{2n}\left(\frac{\sin x}{\sin\left(\theta-x\right)}\right)\,dx$ es racional...

Question

Yo estaba tratando de evaluar $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{6}}\ln^2\left(2\sin x\right)\,dx$ en un modo elemental (no de variable compleja) así que he pensado:

$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{6}} \ln^2\left(\frac{\sin x}{\sin\left(\frac{\pi}{6}-x\right)}\right)\,dx$.

El uso de lindep una función en PARI GP me han conjeturado que esta integral es igual a un racional veces $\pi^3$*. Entonces he pensado:

$\displaystyle \frac{1}{\pi^5}\int_0^{\frac{\pi}{6}} \ln^4\left(\frac{\sin x}{\sin\left(\frac{\pi}{6}-x\right)}\right)\,dx,\frac{1}{\pi^7} \int_0^{\frac{\pi}{6}} \ln^6\left(\frac{\sin x}{\sin\left(\frac{\pi}{6}-x\right)}\right)\,dx$ y parece que estas integrales son números racionales.

entonces he pensado:

$\displaystyle \frac{1}{\pi^5}\int_0^{\frac{\pi}{7}} \ln^4\left(\frac{\sin x}{\sin\left(\frac{\pi}{7}-x\right)}\right)\,dx,\frac{1}{\pi^7} \int_0^{\frac{\pi}{7}} \ln^6\left(\frac{\sin x}{\sin\left(\frac{\pi}{7}-x\right)}\right)\,dx$

mismo que las cosas sucedan.

Entonces he pensado:

$\displaystyle \frac{1}{\pi^3}\int_0^{\sqrt{2}} \ln^2\left(\frac{\sin x}{\sin\left(\sqrt{2}-x\right)}\right)\,dx$.

y lindep no muestra que este número es racional. (no es una prueba).

he probado mucho más los valores de ($\frac{\pi}{7}+\frac{1}{10000}$ por ejemplo)

Mi pregunta:

es cierto que:

$0< \theta <\pi$, un verdadero

para todos los $n$natural, entero

$\displaystyle \frac{1}{\pi^{2n+1}} \int_0^{\theta} \ln^{2n}\left(\frac{\sin x}{\sin\left(\theta-x\right)}\right)\,dx$ es un racional

si sólo si $\theta=r\pi$, $0< r<1$ racional.

*: creo que tengo una prueba de ello.

PS:

La idea de esto vino después de la lectura: Evaluación de $\int_0^{\pi/3} \ln^2\left(\frac{\sin x }{\sin (x+\pi/3)}\right)\,\mathrm{d}x$

Answer 1

La integral puede ser modificado como $$\begin{align} I&= \frac{1}{\pi^{2n+1}} \int_0^{\theta} \ln^{2n}\left(\frac{\sin x}{\sin\left(\theta-x\right)}\right)\,dx\\ &=\frac{1}{\pi^{2n+1}} \int_{-\theta/2}^{\theta/2} \ln^{2n}\left(\frac{\sin \left( \theta/2+y \right)}{\sin\left(\theta/2-y\right)}\right)\,dy\\ &=\frac{2}{\pi^{2n+1}} \int_{0}^{\theta/2} \ln^{2n}\left(\frac{\sin \left( \theta/2+y \right)}{\sin\left(\theta/2-y\right)}\right)\,dy\\ \end{align}$$ Denotando $\varphi=\theta/2$, $$\begin{align} I&=\frac{2}{\pi^{2n+1}} \int_{0}^{\varphi} \ln^{2n}\left(\frac{\sin\varphi\cos y+\sin y\cos\varphi}{\sin\varphi\cos y-\sin y\cos\varphi}\right)\,dy\\ &=\frac{2}{\pi^{2n+1}} \int_{0}^{\varphi} \ln^{2n}\left(\frac{1+\tan y\cot\varphi}{1-\tan y\cot\varphi}\right)\,dy\\ &=\frac{2^{2n+1}}{\pi^{2n+1}} \int_{0}^{\varphi} \operatorname{arctanh}^{2n}\left(\tan y\cot\varphi\right)\,dy \end{align}$$ Ahora, cambiando $\tan y=\tan\varphi \tanh u$, $$\begin{align} I&=\frac{2^{2n+1}\tan\varphi}{\pi^{2n+1}} \int_{0}^{\infty}\frac{u^{2n}}{1+\tan^2\varphi \tanh^2 u}\frac{du}{\cosh^2u}\\ &=\frac{2^{2n+1}\sin\varphi\cos\varphi}{\pi^{2n+1}} \int_{0}^{\infty}\frac{u^{2n}\,du}{\cosh^2u-\sin^2\varphi}\\ &=\frac{2^{2n+1}\sin\theta}{\pi^{2n+1}} \int_{0}^{\infty}\frac{u^{2n}\,du}{\cosh 2u+\cos2\varphi}\\ &=\frac{\sin\theta}{\pi^{2n+1}} \int_{0}^{\infty}\frac{v^{2n}\,dv}{\cosh v-\cos(\pi-\theta)} \end{align}$$ y el uso de la representación integral de los polinomios de Bernoulli DLMF: $$\begin{equation} B_{2n+1}\left(\frac{\pi-\theta}{2\pi}\right)=(-1)^{n+1}\frac{2n+1}{(2\pi)^{2n+1}}\sin\theta\int_{0}^{\infty}\frac{v^{2n}\mathrm{d}v}{\cosh v-\cos\theta} \end{equation}$$ obtenemos la forma cerrada de la expresión $$\begin{equation} I=\frac{(-1)^{n+1}2^{2n+1}}{2n+1}B_{2n+1}\left(\frac{\pi-\theta}{2\pi}\right) \end{equation}$$ Por lo tanto, si $\theta=r\pi$ donde $r$ es racional, entonces el argumento de la de Bernoulli polinomio racional y la integral también. Recíprocamente, sin embargo, otros valores de $0<\theta<\pi$ existen que hacen $B_{2n+1}\left(\frac{\pi-\theta}{2\pi}\right)$ (y por lo tanto $I$) racional. Por ejemplo, uno puede comprobar numéricamente que, $I_{n=1,\theta=\theta^*}=4/75$ para $\theta^*=\pi\left( 3^{-1/2}\cos\Phi+\sin\Phi \right)$, donde $\Phi=3^{-1}\arctan\left( \sqrt{3}\sqrt{517}/18 \right)$(!) (Esto se obtuvo, mediante la resolución de $B_3(x)=1/50$ utilizando un CAS).