Yo estaba tratando de evaluar $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{6}}\ln^2\left(2\sin x\right)\,dx$ en un modo elemental (no de variable compleja) así que he pensado:
$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{6}} \ln^2\left(\frac{\sin x}{\sin\left(\frac{\pi}{6}-x\right)}\right)\,dx$.
El uso de lindep una función en PARI GP me han conjeturado que esta integral es igual a un racional veces $\pi^3$*. Entonces he pensado:
$\displaystyle \frac{1}{\pi^5}\int_0^{\frac{\pi}{6}} \ln^4\left(\frac{\sin x}{\sin\left(\frac{\pi}{6}-x\right)}\right)\,dx,\frac{1}{\pi^7} \int_0^{\frac{\pi}{6}} \ln^6\left(\frac{\sin x}{\sin\left(\frac{\pi}{6}-x\right)}\right)\,dx$ y parece que estas integrales son números racionales.
entonces he pensado:
$\displaystyle \frac{1}{\pi^5}\int_0^{\frac{\pi}{7}} \ln^4\left(\frac{\sin x}{\sin\left(\frac{\pi}{7}-x\right)}\right)\,dx,\frac{1}{\pi^7} \int_0^{\frac{\pi}{7}} \ln^6\left(\frac{\sin x}{\sin\left(\frac{\pi}{7}-x\right)}\right)\,dx$
mismo que las cosas sucedan.
Entonces he pensado:
$\displaystyle \frac{1}{\pi^3}\int_0^{\sqrt{2}} \ln^2\left(\frac{\sin x}{\sin\left(\sqrt{2}-x\right)}\right)\,dx$.
y lindep no muestra que este número es racional. (no es una prueba).
he probado mucho más los valores de ($\frac{\pi}{7}+\frac{1}{10000}$ por ejemplo)
Mi pregunta:
es cierto que:
$0< \theta <\pi$, un verdadero
para todos los $n$natural, entero
$\displaystyle \frac{1}{\pi^{2n+1}} \int_0^{\theta} \ln^{2n}\left(\frac{\sin x}{\sin\left(\theta-x\right)}\right)\,dx$ es un racional
si sólo si $\theta=r\pi$, $0< r<1$ racional.
*: creo que tengo una prueba de ello.
PS:
La idea de esto vino después de la lectura: Evaluación de $\int_0^{\pi/3} \ln^2\left(\frac{\sin x }{\sin (x+\pi/3)}\right)\,\mathrm{d}x$