Yo estaba tratando de evaluar ∫π60ln2(2sinx)dx en un modo elemental (no de variable compleja) así que he pensado:
∫π60ln2(sinxsin(π6−x))dx.
El uso de lindep una función en PARI GP me han conjeturado que esta integral es igual a un racional veces π3*. Entonces he pensado:
1π5∫π60ln4(sinxsin(π6−x))dx,1π7∫π60ln6(sinxsin(π6−x))dx y parece que estas integrales son números racionales.
entonces he pensado:
1π5∫π70ln4(sinxsin(π7−x))dx,1π7∫π70ln6(sinxsin(π7−x))dx
mismo que las cosas sucedan.
Entonces he pensado:
1π3∫√20ln2(sinxsin(√2−x))dx.
y lindep no muestra que este número es racional. (no es una prueba).
he probado mucho más los valores de (π7+110000 por ejemplo)
Mi pregunta:
es cierto que:
0<θ<π, un verdadero
para todos los nnatural, entero
1π2n+1∫θ0ln2n(sinxsin(θ−x))dx es un racional
si sólo si θ=rπ, 0<r<1 racional.
*: creo que tengo una prueba de ello.
PS:
La idea de esto vino después de la lectura: Evaluación de ∫π/30ln2(sinxsin(x+π/3))dx