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Es cierto que 1π2n+1θ0ln2n(sinxsin(θx))dx es racional...

Yo estaba tratando de evaluar π60ln2(2sinx)dx en un modo elemental (no de variable compleja) así que he pensado:

π60ln2(sinxsin(π6x))dx.

El uso de lindep una función en PARI GP me han conjeturado que esta integral es igual a un racional veces π3*. Entonces he pensado:

1π5π60ln4(sinxsin(π6x))dx,1π7π60ln6(sinxsin(π6x))dx y parece que estas integrales son números racionales.

entonces he pensado:

1π5π70ln4(sinxsin(π7x))dx,1π7π70ln6(sinxsin(π7x))dx

mismo que las cosas sucedan.

Entonces he pensado:

1π320ln2(sinxsin(2x))dx.

y lindep no muestra que este número es racional. (no es una prueba).

he probado mucho más los valores de (π7+110000 por ejemplo)

Mi pregunta:

es cierto que:

0<θ<π, un verdadero

para todos los nnatural, entero

1π2n+1θ0ln2n(sinxsin(θx))dx es un racional

si sólo si θ=rπ, 0<r<1 racional.

*: creo que tengo una prueba de ello.

PS:

La idea de esto vino después de la lectura: Evaluación de π/30ln2(sinxsin(x+π/3))dx

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Paul Enta Puntos 41

La integral puede ser modificado como I=1π2n+1θ0ln2n(sinxsin(θx))dx=1π2n+1θ/2θ/2ln2n(sin(θ/2+y)sin(θ/2y))dy=2π2n+1θ/20ln2n(sin(θ/2+y)sin(θ/2y))dy Denotando φ=θ/2, I=2π2n+1φ0ln2n(sinφcosy+sinycosφsinφcosysinycosφ)dy=2π2n+1φ0ln2n(1+tanycotφ1tanycotφ)dy=22n+1π2n+1φ0arctanh2n(tanycotφ)dy Ahora, cambiando tany=tanφtanhu, I=22n+1tanφπ2n+10u2n1+tan2φtanh2uducosh2u=22n+1sinφcosφπ2n+10u2nducosh2usin2φ=22n+1sinθπ2n+10u2nducosh2u+cos2φ=sinθπ2n+10v2ndvcoshvcos(πθ) y el uso de la representación integral de los polinomios de Bernoulli DLMF: B2n+1(πθ2π)=(1)n+12n+1(2π)2n+1sinθ0v2ndvcoshvcosθ obtenemos la forma cerrada de la expresión I=(1)n+122n+12n+1B2n+1(πθ2π) Por lo tanto, si θ=rπ donde r es racional, entonces el argumento de la de Bernoulli polinomio racional y la integral también. Recíprocamente, sin embargo, otros valores de 0<θ<π existen que hacen B2n+1(πθ2π) (y por lo tanto I) racional. Por ejemplo, uno puede comprobar numéricamente que, In=1,θ=θ=4/75 para θ=π(31/2cosΦ+sinΦ), donde Φ=31arctan(3517/18)(!) (Esto se obtuvo, mediante la resolución de B3(x)=1/50 utilizando un CAS).

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