Casi en todas partes (ae) Función homogénea de grado $0$ es igual a una constante para casi todos los $x \in (0,\infty)$ ?

Question

Es una función homogénea en casi todas partes (ae) de grado $0$ es igual a una constante para casi todos los $x \in (0,\infty)$ ?

L $f : \mathbb R \to \mathbb R$ .

Si $f(ax)=f(x)$ ae para cualquier $a>0$

Entonces $f(x)=c$ para casi todos los $x \in (0,\infty)$ donde $c$ es una constante.

¿Es cierto lo anterior suponiendo simplemente $f$ ¿es mensurable?

Answer 1

Podemos suponer $f$ está acotada; si no, podemos considerar en su lugar $\arctan f.$ La conclusión es válida para $f$ si se cumple para $\arctan f.$

Por el teorema de la diferenciación de Lebesgue existe un medible $E\subset (0,\infty)$ tal que $(0,\infty)\setminus E$ tiene medida $0,$ y tal que

$$\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\int_x^{x+h} f = f(x)\,\, \text {for all }x\in E.$$

Supongamos que $x,y\in E.$ Sea $a=y/x.$ Tenga en cuenta que $ax = y\in E.$ Entonces

$$\frac{1}{h}\int_x^{x+h} f(t)\,dt = \frac{1}{h}\int_x^{x+h} f(at)\,dt = \frac{1}{ah}\int_{ax}^{ax+ah} f(s)\,ds.$$

En $h\to 0,$ lado izquierdo converge a $f(x)$ y el lado derecho converge a $f(ax) = f(y).$ Así $f(x)=f(y).$ Por lo tanto $f$ es constante en $E,$ que es la conclusión deseada.

Answer 2

Aquí hay un intento de demostración, primero demuéstrelo para un localmente integrable $f$ y, a continuación, ampliarlo a $f$ (con el requisito adicional de que sea ae finito)

defina $C=\int_0^1 f(t)dt$ ,

para $x>0$ , $g(x)=\int_0^x f(t)dt$

elija $a$ tal que $ax=1$

$g(x)=\int_0^x f(t)dt=\int_0^x f(at)dt=x(ax)^{-1}\int_0^x f(at)adt=x\int_0^1 f(y)dy$

Por lo tanto $g(x)=Cx$

así que $g'=f=C$ ae en $(0, \infty)$

ahora para un $f$ el conjunto $A_n=\{x : |f(x)| < n \}$ es medible,donde $n \in N$ define $f_n=f1_{A_n}$ donde $1_{A_n}$ es la función indicadora del conjunto ${A_n}$ . Entonces $f_n(x)=f_n(ax)$ para casi todos los $ x \in A_n $ Usando un truco similar al anterior, $f_n=C_n$ para casi todos los $x \in A_n$ donde $C_n=\int_0^1 f_n(t)dt$

Ahora bien $\mu (A_n) > 0$ tenemos $f(x)=C_n=C_{n+1}=C_{n+2}....=C_{\infty}$ para casi todos los $x \in B=\bigcup A_n$

Ahora para terminar la prueba tengo que suponer $\mu(B^c \bigcap [0,\infty))=0$ que es verdadera si $f$ es finito ae

El truco anterior no funciona una vez que eliminamos el requisito de $ f $ siendo ae finito.