Demostrando $\sum_{k=1}^n\vert\cos(k)\vert\ge \frac{n}{4}$ todos los $n>0$

Question

Demostrar que para todos los $n\in\mathbb{N}^* \quad \sum_{k=1}^n\vert\cos(k)\vert\ge \frac{n}{4}.$

Puedo hacerlo con el hecho de que $\vert\cos(x)\vert\ge \cos(x)^2$ \begin{equation} \sum_{k=1}^n\vert\cos(k)\vert\ge \sum_{k=1}^n\cos(k)^2=\frac{n}{2}+\frac1{2}\Re\big(e^{2i}\frac{1-e^{2in}}{1-e^{2i}}\big)\\ =\frac{n}{2}+\frac{1}{2}\Re\big(e^{i(n+1)}\frac{\sin(n)}{\sin{1}}\big)=\frac{n}{2}+\frac{\cos(n+1)\sin(n)}{2\sin(1)}\ge\frac{n}{2}-\frac{1}{2\sin(1)} \end{equation}

Puedo terminar con "la" calculadora o con la mano, pero creo que sería más bien como un "directo" de la prueba no se usa el valor de $\sin(1).$

Otros métodos pueden ser muy interesantes.

Answer 1

Usted no necesita una gran precisión para $\sin 1$. De hecho, para mostrar $$ \frac n2-\frac1{2\sin1}\ge \frac n4$$ basta disponer de $$ n\ge \frac2{\sin1}.$$ De $\pi<4$, tenemos $\sin1>\sin\frac\pi4=\frac12\sqrt 2$, y hance son doen para todos los $n\ge 2\sqrt2$, por lo que (como $\sqrt 2<\sqrt{\frac 94}=\frac32$) ciertamente, para todos $n\ge3$. Una alta precisión de la calculadora no habría ayudado a usted mejor que eso.

Para $n=2$, la demanda se $|\cos 1|+|\cos 2|\ge \frac12$ e de $n=1$es $|\cos 1|\ge \frac14$. Este tiempo se utiliza la $1<\frac\pi 3$, por lo tanto $\cos 1>\cos\frac\pi3=\frac12$.

Answer 2

Desde $$ \left|\cos x\right|=\frac{2}{\pi}+\frac{4}{\pi}\sum_{m\geq 1}\frac{\cos(2mx)(-1)^{m+1}}{4m^2-1} $$ y $$ \left|\sum_{n=1}^{N}\cos(2mn)\right|\leq \frac{1}{\left|\sin m\right|}\leq \frac{\pi/2}{d(m,\pi\mathbb{Z})} $$ tenemos $$ \left|-\frac{2n}{\pi}+\sum_{k=1}^{n}\left|\cos k\right|\right|\leq \frac{1}{2}\sum_{m\geq 1}\frac{1}{(4m^2-1)\,d(m,\pi\mathbb{Z})}. \tag{A}$$ Una vez que se prueba que la serie en la RHS de $(A)$ es convergente tenemos $\sum_{k=1}^{n}\left|\cos k\right|=\frac{2n}{\pi}+O(1)$, que es mucho más fuerte que la desigualdad original. Ahora $m^2\,d(m,\pi\mathbb{Z})$ puede ser tan pequeño como $\Theta(m)$, pero por Lagrange del teorema que sucede iff $m$ es el numerador de una convergente de $\pi$, es decir, un elemento de la secuencia de $\{\eta_n\}_{n\geq 1}=\{3,22,333,355,103993,\ldots\}$. Desde $\pi$ es irracional esta secuencia tiene al menos un crecimiento exponencial de la serie de la $\sum_{n\geq 1}\frac{1}{\eta_n}$ es convergente. Como consecuencia, la RHS de $(A)$ es convergente. Un valor aproximado para el es $0.6$. Aquí es un gráfico de la LHS de $(A)$ para $n\in[1,1000]$:

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Answer 3

Voy a demostrar que $$\sum_{k=1}^n\,\big|\cos(k)\big|>\frac{n}{2}\tag{*}$$ para todos los $n\geq 3$. Para $n=3$, usted puede simplemente utilizar algún software, o hacer algunas inteligente cerca de las estimaciones de $\cos(1)$, $\cos(2)$, e $\cos(3)$ para terminar el trabajo. Para $n\geq 4$, me referiré a la OP del trabajo, con un pequeño giro: $$\begin{align}\sum_{k=1}^n\,\big|\cos(k)\big|&\geq \sum_{k=1}^n\,\cos^2(k)+\sum_{k=1}^4\,\Big(\big|\cos(k)\big|-\cos^2(k)\Big)\\&\geq \frac{n}{2}-\frac{1}{2\sin(1)}+\sum_{k=1}^4\,\Big(\big|\cos(k)\big|-\cos^2(k)\Big)\,,\end{align}$$ donde he aplicado exactamente la misma idea que la OP es una obra maravillosa. Ahora, puede ser visto (a través del uso de software o haciendo buenas aproximaciones) que $$\sum_{k=1}^4\,\Big(\big|\cos(k)\big|-\cos^2(k)\Big)>\frac{1}{2\sin(1)}\,.$$ Es decir, (*) se aplica a todos los $n\geq 4$ así. (De hecho, (*) sostiene que para cada entero positivo $n$ , excepto cuando se $n=2$.)

De hecho, hemos $$\lim_{n\to\infty}\,\frac1n\,\sum_{k=1}^n\,\big|\cos(k)\big|=\frac{2}{\pi}\,.$$ Por lo tanto, para cualquier número real positivo $r<\dfrac{2}{\pi}$, existe un entero positivo $N_r$ tales que $$\sum_{k=1}^n\,\big|\cos(k)\big|>rn$$ para cada entero $n\geq N_r$. Como se puede ver, $N_{1/4}=1$ e $N_{1/2}=3$. Asimismo, para cualquier número real $s>\dfrac{2}{\pi}$, existe un entero positivo $M_s$ tal que $$\sum_{k=1}^n\,\big|\cos(k)\big|<sn$$ para cada entero $n\geq M_s$. (Bien, tenemos este resultado evidente: $M_s=1$ para todos los $s\geq 1$. Menos obvio resultado es $M_{3/4}=1$.)