Fórmula General para el n-ésimo elemento de la secuencia 0, 1, 0, 1, ...

Question

La secuencia es $f = 0, 1, 0, 1, \ldots$

Quiero encontrar una fórmula general para la $n$elemento th. La secuencia comienza en $n = 0$ ( $0$ aquí no es el primer elemento de $0$ sino que indica el $0$th posición).

Una fácil y la solución obvia es: $n$th $f = n \bmod 2$. Esto funciona porque incluso puestos de $0$ y posiciones impares tienen $1$.

Sin embargo, esta pregunta es parte de una tarea y el módulo no ha sido discutido (o parte de el plan de estudios o incluso un requisito previo). Y por eso soy reacio a utilizar.

Hay otra manera de resolver este problema utilizando sólo las operaciones aritméticas básicas (que en un principio estudiante de secundaria sabe)?

Answer 1

$a_n=(1/2)(1+(-1)^{n+1})$, $n=0,1,2,.....$

Answer 2

La expresión para el $n$ésimo elemento de la secuencia $f$ deben tener en cuenta los productos de $(-1)$.

Como cada número $n$ que aparece en su secuencia es sólo $$n = \frac{1}{2} + k,$$ where $$k = \pm\frac{1}{2},$$ then the general expression for the $n$th term $f_n$ would be the sum of the term $k$ to the $n$th: $$f_n = \frac{1}{2} + (-1)^n \left(\frac{1}{2}\right).$$

Teniendo en cuenta que la secuencia se inicia con el valor de $0$ en el primer término. $(-1)^1 = -1, (-1)^2 = 1$, y así sucesivamente.

Answer 3

Considere la posibilidad de ajustar las secuencias de cualquiera de:

• $(-1)^n$
• $\cos(\pi n)$

para conseguir lo que usted está buscando, por ejemplo mediante la adición de una constante y/o la multiplicación por una constante

Answer 4

Se ha aprendido acerca de los exponentes sin embargo, incluyendo los casos especiales $x^0$ e $x^1$? Aquí es un poco más complicado de definición utilizando los exponentes: $f(0) = 0$, $f(1) = 1$ (que es lo que los desarrolladores de software llamaría "inicialización"), a continuación, $$f(n) = f(n - 2)^{f(n - 1)}$$ for $n > 1$.

También puede hacerlo en $f(n) = f(n - 2)$, a pesar de que usted puede venir a través de un smart aleck con que uno.

Answer 5

Es la secuencia de sólo una eterna alternancia de 0 y 1? Entonces todo lo que necesita hacer es poner un par de docenas de alteraciones en la OEIS, encontrar https://oeis.org/A000035, a continuación, sentarse y leer hasta encontrar una fórmula que te gusta.

Bit menos significativo de $n$, lsb(n).

Esto funciona incluso si $n$ es negativo, pero se pone un poco en la ciencia de la computación.

También decimal de expansión de $\frac{1}{99}$.

Sí... si usted ignorar el entero 0 en 0.01010101010101010101010101010101...

También el binario de expansión de $\frac{1}{3}$.

Aunque no estoy seguro de esto se aplica en virtud del punto flotante IEEE 754 de especificación de formato.

Hay un montón más para mirar. Personalmente, me gusta la relación de recurrencia $a(n) = 1 - a(n - 1)$, que por supuesto es inicializado con $a(0) = 0$.