Demostrando $\sum_{i=1}^{n} {{n}\choose{i}} (-1)^i = -1$ por inducción

Question

Me gustaría probar este $$\sum_{i=1}^{n} {{n}\choose{i}} (-1)^i = -1$$ for all $n \in \mathbb{N} $.

Empecé por la sustitución de forma consecutiva $n$ por $1, 2, 3$, de una en una, y comprobado que todos estos, de hecho, la igualdad de $-1$. Sin embargo, me gustaría probarlo para todos los $i$, por lo tanto, traté de hacerlo por Inducción Matemática, pero fracasó en algún lugar. A continuación es mi razón de ser.

$ n=1 \Rightarrow \sum_{i=1}^{n} {{n}\choose{i}} (-1)^i = \sum_{i=1}^{1} {{1}\choose{i}} (-1)^i = {{1}\choose{1}} (-1)^1 = 1 \times (-1) = -1$

$$\sum_{i=1}^{n+1} {{n+1}\, seleccione{i}} (-1)^i \\= \sum_{i=1}^{n} {{n+1}\, seleccione{i}} (-1)^i + \sum_{i=n+1}^{n+1} {{n+1}\, seleccione{i}} (-1)^i \\ = \sum_{i=1}^{n} {{n+1}\, seleccione{i}} (-1)^i + {{n+1}\, seleccione{n+1}} (-1)^{n+1}\\ = \sum_{i=1}^{n} \[{{n}\, seleccione{i-1}} + {{n}\, seleccione{i}}] (-1)^i + {{n+1}\, seleccione{n+1}} (-1)^{n+1} \\ = \sum_{i=1}^{n} \espacio {{n}\, seleccione{i-1}} (-1)^i + \sum_{i=1}^{n}{{n}\, seleccione{i}} (-1)^i + {{n+1}\, seleccione{n+1}} (-1)^{n+1} = $$

Dada la hipótesis de inducción, $\sum_{i=1}^{n} {{n}\choose{i}} (-1)^i = -1 $, por lo tanto tenemos

$ \sum_{i=1}^{n} \space {{n}\choose{i-1}} (-1)^i - 1 + (-1)^{n+1} = $

Ahora mi manera de ver esto es que $\sum_{i=1}^{n} \space {{n}\choose{i-1}} (-1)^i$ es similar a $\sum_{i=1}^{n}{{n}\choose{i}} (-1)^i $, pero en lugar de tener todo el triángulo de Pascal términos excepto el término en ${n}\choose{0}$, que llegar a tener todos los elementos excepto el término en ${n}\choose{n}$. Esta es la razón por la que escribí la ecuación anterior como igual a

$ \sum_{i=1}^{n} \space {{n}\choose{i}} (-1)^i + {{n}\choose{0}} (-1)^0 - {{n}\choose{n}} (-1)^n - 1 + (-1)^{n+1} = $

$ -1 + 1 - {{n}\choose{n}} (-1)^n - 1 + (-1)^{n+1} = - (-1)^n - 1 + (-1)^{n+1} = -1 + (-1)^{n+1} + (-1)^{n+1} = $

$ = -1 + 2 \times (-1)^{n+1} $

Usted ve que hay un problema en esta resolución, ya que, dependiendo de si n es par o impar, el resultado final de esta suma será diferente. Si $n$ es impar, $n+1$ es aún, por lo tanto, tenemos $-1 + 2 \times 1 = 1$. Si $n$ es incluso, a continuación, $n+1$ es impar, por lo tanto, tenemos $-1 + 2 \times (-1) = -3$ !

Hice esta resolución y otra vez, pero no he encontrado el hueco en mi lógica. Por favor, ayudar.

Gracias.

Answer 1

Si sólo quieres probar la igualdad, tiene una forma mucho más simple prueba :

$$0 = (1-1)^n = \sum_{i=0}^n {n\choose i} 1^{n-i} (-1)^i = 1 + \sum_{i=1}^n {n \choose i} (-1)^i$$

Answer 2

Hay un pequeño error. Antes de hablar sobre ella, bien hecho por tu trabajo! También, como se muestra en la otra respuesta, hay una manera mucho más fácil demostrar esta fórmula.

Para responder a su pregunta, el problema es cuando se hizo esto:

$$\sum_{i=1}^n\binom{n}{i-1}(-1)^i=\sum_{i=1}^n\binom{n}{i}(-1)^i+\binom{n}{0}(-1)^0-\binom{n}{n}(-1)^n.$$

Tienes idea de cambiar la forma en la suma se ve es genial!!! Es sólo eso, una cosa que se ha perdido, es que hacer un cambio de variable no $i-1\to i$. Vea usted:

$$\sum_{i=1}^n\binom{n}{i-1}(-1)^i=\binom{n}{0}(-1)^1+\color{blue}{\binom{n}{1}(-1)^2}+\dots+\color{limegreen}{\binom{n}{n-1}(-1)^n}$$

mientras que

$$\sum_{i=1}^n\binom{n}{i}(-1)^i=\color{blue}{\binom{n}{1}(-1)^1}+\dots+\color{limegreen}{\binom{n}{n-1}(-1)^{n-1}}+\binom{n}{n}(-1)^n.$$

Verá que los términos que tienen el mismo binomio valor no tiene el mismo poder de la $(-1)$. He aquí una manera de hacer las cosas correctamente:

\begin{align*} \sum_{i=1}^n\binom{n}{i-1}(-1)^i&=\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n}{i}(-1)^{i+1}&\text{(if you replace %#%#% by %#%#%, you replace %#%#% by %#%#%)}\\ &=\binom{n}{0}(-1)^1-\sum_{i=1}^{n-1}\binom{n}{i}(-1)^i&\text{(because %#%#%}\\ &=-1-\sum_{i=1}^n\binom{n}{i}(-1)^i+\binom{n}{n}(-1)^n. \end{align*}

Answer 3

\begin{align} \sum_{i=1}^n\binom{n}i(-1)^i &=\sum_{i=1}^n\left[\binom{n-1}{i}+\binom{n-1}{i-1}\right](-1)^i \\&=\sum_{i=1}^n\left[\binom{n-1}{i}(-1)^i-\binom{n-1}{i-1}(-1)^{i-1} \right]\end{align} La última suma es telescópica. Para ver esto, vamos a $a_i=\binom{n-1}i(-1)^i$, y la nota de la última suma es $\sum_{i=1}^n(a_i-a_{i-1}). $ El valor de esta suma es, por tanto, $$a_n-a_0=\binom{n-1}n(-1)^n-\binom{n-1}0(-1)^0=0-1=-1.$$ De manera más general, $$ \sum_{i=p}^q\binom{n}i(-1)^i=\binom{n-1}p(-1)^q-\binom{n-1}{p-1}(-1)^{p-1}. $$

Answer 4

Aquí está la muy detallada de la solución: $$\sum_{i=1}^{n} \espacio {{n}\, seleccione{i-1}} (-1)^i + \sum_{i=1}^{n}{{n}\, seleccione{i}} (-1)^i + {{n+1}\, seleccione{n+1}} (-1)^{n+1} =\\ \left[(-1)^1\sum_{i=1}^{n} \espacio {{n}\, seleccione{i-1}} (-1)^{i-1}\right] + (-1) + (-1)^{n+1} =\\ \left[(-1)^1{n\elegir 0}+(-1)^1\sum_{i=2}^{n} \espacio {{n}\, seleccione{i-1}} (-1)^{i-1}\right] + (-1) + (-1)^{n+1} =\\ \left[-1+(-1)^1\sum_{i=2}^{n} \espacio {{n}\, seleccione{i-1}} (-1)^{i-1}+(-1)^1{n\elegir n}(-1)^n-(-1)^1{n\elegir n}(-1)^n\right] + (-1) + (-1)^{n+1} =\\ \left[-1+(-1)^1\sum_{i=1}^{n} \espacio {{n}\, seleccione{i}} (-1)^{i}-(-1)^1{n\elegir n}(-1)^n\right] + (-1) + (-1)^{n+1} =\\ \a la izquierda[-1+(-1)^1(-1)-(-1)^1{n\elegir n}(-1)^n\right] + (-1) + (-1)^{n+1} =\\ [-1+1-(-1)^{n+1}]-1+(-1)^{n+1}=-1.$$