¿Por qué son tan populares los ejercicios relacionados con la desigualdad AM-GM?

Question

Cada día que visito este sitio me encuentro con muchos ejercicios relacionados con la desigualdad AM-GM.

Donde yo fui al instituto (Suiza) nunca nos enseñaron esta desigualdad. Por lo tanto, no veo la necesidad de hablar tanto de esta desigualdad y, en consecuencia, veo estos ejercicios como matemáticamente muy poco interesantes: (a juzgar sólo por mi impresión) tienden a no llevar a ninguna parte y son sólo "malabares matemáticos".

Como actualmente enseño matemáticas en el instituto, quiero entender mejor esta desigualdad, para elegir si la trato en clase o no.

Así que mi pregunta es: ¿cuáles son los resultados "útiles" o los temas interesantes que podrían llevarme a discutir esta desigualdad en clase?

Sé que esto es una opinión, pero creo que todavía se ajusta a la política del MSE.

Answer 1

Este es el famoso $\mathbf{RMS-AM-GM-HM}$ desigualdad. $\qquad$ Vídeo original Creo que es un ejercicio interesante y divertido para que los estudiantes de secundaria entiendan la desigualdad. $$\mathbf{Constructing AM}$$ Dibujamos un semicírculo con diámetro $ a + b$ . Su radio es la mitad del diámetro, que es la media aritmética $(a + b)\over 2$ . $$\mathbf{Constructing RMS}$$ El cuadrado medio de la raíz es la hipotenusa del siguiente triángulo rectángulo, en el que un cateto es el radio del círculo (el AM), por lo que el RMS nunca es menor que el AM. $$\mathbf{Constructing GM}$$ La media geométrica es la longitud de la perpendicular donde se encuentran a y b, que nunca es mayor que el radio del círculo. $$\mathbf{Constructing HM}$$ Esta es la construcción más complicada. Construimos un triángulo con la media geométrica como un cateto y el radio del círculo como la hipotenusa. Si dibujamos una altitud a esta hipotenusa, la longitud superior en la hipotenusa es la media armónica. Como el HM es un cateto de un triángulo donde el GM es la hipotenusa, el GM nunca es menor que el HM.

$$\text{Putting it all together}$$ Hemos ilustrado las desigualdades por pares:

• RMS ≥ AM
• AM ≥ GM
• GM ≥ HM

Si $a ≠ b$ entonces las anteriores son todas desigualdades estrictas, ya que la hipotenusa de un triángulo rectángulo es estrictamente mayor que un cateto del triángulo. (Y viceversa: si las desigualdades son estrictas, entonces a ≠ b.)

Si a = b, entonces por cálculo directo tendremos que todas las cantidades son iguales a (o b). Por el contrario, ¿qué pasa si las desigualdades son todas iguales? Entonces debe ser que la hipotenusa de cada triángulo es igual a un cateto, lo que sólo ocurre si a = b cuando todas las longitudes se convierten en el radio del semicírculo.