Cómo mostrar $\gcd(ac, bd) = \gcd(a,d) * \gcd(b,c)$

Question

Dado que $\gcd(a,b) = 1$ e $\gcd(c,d) = 1$, muestran que $\gcd(ac,bd) = \gcd(a,d) * \gcd(b,c)$.

El trabajo que he hecho hasta ahora va como sigue.

Escribimos $$\gcd(ac,bd) = acv + bdu$$ entonces $$\gcd(a,d) = ax + dy\quad\text{and}\quad\gcd(b,c) = bs + ct$$ y así \begin{align} \gcd(a,d) * gcd(b,c) &= (ax + dy) * (bs + ct) \\ &= axbs + axct + dybs + dyct \end{align} Traté de factor de algunos términos, y obtener $ax(bs+ct) + dy(bs+ct)$ pero entonces yo estoy atrapado aquí. No sé qué otra cosa a utilizar para probar la respuesta.

Answer 1

Tomar todos los factores primos en turno. Tenemos las siguientes relaciones entre las multiplicidades:

$$\gcd(a,b) = 1\iff\min(\alpha,\beta)=0,$$ $$\gcd(a,b) = 1\iff\min(\gamma,\delta)=0,$$

$$\gcd(ac,bd) = \gcd(a,d) \gcd(b,c)\iff\min(\alpha+\gamma,\beta+\delta)=\min(\alpha,\delta)+\min(\beta,\gamma).$$

Si consideramos el caso de $\alpha=\gamma=0$, el último de la identidad se reduce a

$$0=0+0.$$

A continuación, con $\beta=\gamma=0$,

$$\min(\alpha,\delta)=\min(\alpha,\delta).$$ Por la simetría de los otros casos que espera.

Answer 2

Deje $x = \gcd(a,d)$ e $y= \gcd(b,c)$, a continuación, $xy\mid ac$ e $xy\mid bd$ lo $\boxed{xy\mid z}$ donde $z=\gcd(ac,bd)$.

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Viceversa:

Podemos escribir $a=xa'$ e $d=xd'$ donde $\gcd(a',d')=1$ e $b=yb'$ e $c=yc'$ donde $\gcd(b',c')=1$

Ahora desde $z\mid ac = xya'c'$ e $z\mid bd = xyb'd'$

Ahora si hay prime $p$ tal que $p\mid z$ e $\gcd(xy,p)=1$ entonces $p\mid a'c'$ e $p\mid b'd'$. Si $p\mid a'$ entonces $p\mid b'$ desde $\gcd(a',d')=1$. Pero, a continuación, $p\mid a$ e $p\mid b$ lo $p\mid \gcd(a,b)=1$ una contradicción. Por tanto no se $p$ e lo $\boxed{z\mid xy}$

Answer 3

Deje $\gcd(a,d) = g$ , de modo que $a = a'g$ e $d = d'g$ e $\gcd(a',d') =1$. (por qué?)

Y deje $\gcd(b,c) = h$ , de modo que $b =b'h$ e $c= c'h$ e $\gcd(b',c') =1$ (żpor qué?).

A continuación, $\gcd(ac,bd) = \gcd(a'c'gh, b'd'gh) = gh*\gcd(a'c',b'd')$. [$\gcd(m*k, n*k) = k\gcd(m,n)$. (por qué?)]

Y si usted toma cualquier factor principal de $a'c'$ entonces es un primer factor de $a'$ o $c'$ así que no es un factor principal de cualquiera de las $b'$ o $d'$ (como los coprime tanto $a'$ e $c'$; $a$ e $b$ son coprime, $c$ e $d$ son coprime, y así se $a'$ e $d'$ y así se $b'$ e $c'$). Así que no es un factor principal de $b'd'$. A pesar de que ningún factor primo de $b'd'$ es un primer factor de $a'c'$. Por lo $\gcd(a'c', b'd') = 1$.

Por lo $\gcd(ac, bd) = gh = \gcd(a,d)\gcd(b,c)$.

Answer 4

Tener en cuenta (a, d) = d1 y (b, c) = d2

En (ac, bd) sabemos que (a, b) =1 y

(a,d) =d1 y (c, d) =1 (c,b)=d2

Entonces (ac, bd) =d1d2