Cómo comparar logaritmos $\log_4 5$ y $\log_5 6$ ?

Question

Necesito comparar $\log_4 5$ y $\log_5 6$ . Puedo estimar ambos números como $1.16$ y $1.11$ . Entonces tomé la fracción más pequeña $\frac{8}{7}$ que es mayor que $1.11$ y más pequeño que $1.16$ y demostrar dos desigualdades: $$\log_4 5 > \frac{8}{7}$$ $$\frac{7}{8}\log_4 5 > 1$$ $$\log_{4^8} 5^7 > 1$$ $$\log_{65536} 78125 > 1$$ y $$\log_5 6 < \frac{8}{7}$$ $$\frac{7}{8}\log_5 6 < 1$$ $$\log_{5^8} 6^7 < 1$$ $$\log_{390625} 279936 < 1$$ por eso tengo $\log_5 6 < \frac{8}{7} < \log_4 5$ .

Pero para probar necesito estimar ambos logaritmos (sin esta estimación no puedo encontrar la fracción para comparar). Me pueden ayudar a encontrar una solución más clara (sin gráficos)

Answer 1

Utilice la desigualdad Am-Gm y el hecho de que $\log x$ está aumentando:

$$\log 6\cdot \log 4< {(\log 6+\log 4)^2\over 4} ={\log^2 24\over 4} < {\log ^225\over 4 }= \log ^25$$

Así que $$\log_56={\log 6\over \log 5}<{\log 5\over \log 4}=\log _45$$

Answer 2

$$f(x) = \log_x(x+1)$$ es una función estrictamente decreciente para $x>1$ .

Puede comprobarlo encontrando $f'(x)$ y notando que $f'(x)<0$ para todos $x>1$ .

Answer 3

He encontrado una solución más $$\log_4 5 > \log_5 6$$ $$\log_4 (4+1) > \log_5 (5+1)$$ $$\log_4 4\cdot(1+0.25) > \log_5 5\cdot(1+0.2)$$ $$1+\log_4 (1+0.25) > 1+ \log_5 (1+0.2)$$ $$\log_4 (1+0.25) > \log_5 (1+0.2)$$ $$\log_4 (1+0.25) > \frac{\log_4 (1+0.2)}{\log_4 5}$$ $$\log_4 (1+0.25) > \log_4 (1+0.2) > \frac{\log_4 (1+0.2)}{\log_4 5}$$ Q.E.D.

Answer 4

Lema Si $v \geqslant u \geqslant x > 1$ y $y/x > v/u$ entonces $\log_x{y} > \log_u{v}$ .

Prueba Dejemos que $\alpha = \log_x{y}$ y $\beta = \log_u{v} \geqslant 1$ . Entonces $x^{\alpha-1} = y/x > v/u = u^{\beta-1} \geqslant x^{\beta-1}$ Por lo tanto $\alpha > \beta$ . $\square$

Tenemos $5/4 > 6/5$ por lo que el lema da $\log_4{5} > \log_5{6}$ . $\square$

Answer 5

Podemos escribir la solución del greedoid en una línea.

De hecho, por AM-GM $$\log_56=\log_45\left(\log_54\log_56\right)\leq\log_45\left(\frac{\log_54+\log_56}{2}\right)^2=$$ $$=\log_45\left(\frac{\log_524}{2}\right)^2<\log_45\left(\frac{\log_525}{2}\right)^2=\log_45.$$