Optimización explicó a un medio niño de escuela

Question

Digamos que usted juega el juego de recoger la máxima cantidad de monedas a lo largo de un camino en el $(x,y)$ plano. El importe total de las monedas recogidas $S$ está dado por $S = 5x + 7y$ donde $5$ e $7$ representa el número de monedas recogidas por caminar, respectivamente, una unidad en la $x$ e $y$ dirección. Sin embargo, yo sólo puede ir tan lejos como una unidad de distancia ($x^2+y^2=1$).

Resulta que la solución al problema, de modo tal que $y/x = 7/5$ o dicho en otras palabras, la proporción de la cantidad que usted tiene que caminar en la $y$ dirección en comparación a en la $x$ dirección es la misma que la relación de las tasas a las que recoger las monedas en el $y$ dirección en comparación a en la $x$ dirección.

Mi pregunta : supongamos que tengo para explicar este resultado a un estudiante de secundaria que no conoce a ninguno de cálculo de la trigonometría. También es bastante inestable en la descripción de las ecuaciones de rectas en el plano, para no depender de eso. ¿Cómo puedo convencer a él con la intuición de que las dos proporciones son las mismas? (Yo no estoy buscando una serie de ecuaciones algebraicas, sino más bien algún tipo de prueba visual).

Answer 1

Yo probablemente lo más fácil empezar con los números de visualizar. Por ejemplo, $10$ e $5$, se puede explicar de que cada paso en $1$ dirección de recoger $£5$, y cada paso en el otro, recoger $£10$. Por lo tanto, para recoger la misma cantidad de dinero en la primera como en la segunda, tiene que caminar dos veces más rápido (o mucho). Esperemos que esto puede comenzar el pensamiento intuitivo acerca de la relación entre las proporciones.

Answer 2

Primero de todo, vamos a perder las monedas. Eso no tiene ningún sentido. ¿Cómo puede el número de monedas que usted consigue estar de alguna manera relacionada con la dirección en la que camina? Seguramente si hay monedas tiradas en el suelo, la cantidad que se obtiene debe ser proporcional a la medida de caminar, no se en qué dirección.

Tal vez la siguiente es una mejor visualización del problema. El interior de un muro circular, con algunos de los grandes de la radio, dicen que una milla. Cada paso que usted toma oriente, voy a pagar 5 de oro. Cada paso que usted toma norte, voy a pagar 7 de oro. Cómo se puede maximizar la cantidad de dinero que usted hace?

Donde terminan y cuánto dinero usted hace son funciones sólo de cuántos pasos al este y cuántos pasos al norte que usted toma. No importa en qué orden usted toma. Por lo tanto, bien podemos empezar por pisar sólo al norte, y, a continuación, el paso sólo se oriente hasta que llegamos a la pared. Así que la única pregunta es cuándo dejar de ir al norte y vaya hacia el este.

Al principio parece que sólo deberíamos sólo ir hacia el norte, ya que obtener más dinero de esa forma. Pero hacia el final de nuestro viaje, cuando estamos a solo un paso de distancia de la pared, si miramos a nuestra derecha, encontraremos que podemos dar un paso varios pasos hacia el este antes de golpear la pared. Tan claramente en ese punto debemos cabeza de este. Así no es difícil, de manera intuitiva, a ver por qué ir sólo al norte no es óptima.

Esa es la parte fácil.

Pero ahora tenemos que trabajar exactamente cuando a girar hacia el este. La idea básica es que cada paso que doy norte, estoy sacrificar un cierto número de pasos al este. Porque de la manera en que el círculo es llegar más superficial y menos como yo ir hacia el norte, (la pared oriental se está acercando a mí, más rápido y más rápido), me voy a sacrificar más y más a medida que vaya hacia el norte. Cuánto hacia el este de la distancia me sacrifico en un determinado paso del norte tiene que ver con la pendiente del círculo.

Cuando damos un paso del norte y el sacrificio $x$ pasos al este, obtenemos un total neto de $7-5x$ de oro, que se convierte en negativo en el punto de $x=\frac75$. Ampliando el círculo y la aplicación de las propiedades de los triángulos semejantes, debe ser posible a la esencia de reinventar suficiente de cálculo diferencial para mostrar lo que usted está tratando de demostrar.

Answer 3

Yo sé que usted dijo que tal vez evitar las ecuaciones de las líneas, pero creo que las líneas que aquí hay un punto crucial. No es necesario "saber" cómo trazar, aunque, sólo alguna manera de convencerse de que la siguiente descripción que hace sentido.

Tratar de sacar el conjunto de puntos en el cuadrante positivo donde $S = 1$. Esto debería ser fácil de hacer para los interceptos $(1/5, 0)$ e $(0, 1/7)$, y luego de trabajar que todo en la línea entre ellos también ha $S = 1$. Ahora intenta de nuevo por $S = 2$, lo que ha intercepta $(2/5, 0)$ e $(0, 2/7)$, y así sucesivamente. Lo que encontramos es que el aumento de $S$ corresponde a la realización de este triángulo grande y más grande, pero siempre en la misma horizontal:vertical relación de $7:5$.

La clave es que todos los puntos que tienen el mismo $S$ son una línea, y el aumento del $S$ es sólo deslizar esta línea con un mayor línea paralela.

Ahora tenemos que incluir la restricción de que $x^2 + y^2 = 1$, es decir, queremos mirar solamente los puntos de mentir sobre el círculo unidad. Tratando de maximizar $S$ mientras $(x, y)$ acostado en el círculo significa que usted se desliza el triángulo para hacer más y más grande hasta que la línea toca el borde del círculo, es decir, la recta es tangente al círculo. (También es interesante señalar aquí que para un óptimo $S$, hay dos soluciones, ya que esto podría hacer para una discusión interesante). Hacer una imagen como la siguiente:

donde el exterior del triángulo $ADE$ es en la relación de $7:5$, y el ángulo de $ABE$ es un ángulo recto porque tangentes a los círculos de cumplir con el diámetro en ángulos rectos. El punto de $B$ es el punto de alcanzar el máximo. Ahora todo lo que necesitas para explicar es por qué el pequeño triángulo $ACB$ es en la relación de $5:7$, lo que se puede hacer de varias maneras (si $m$ es un gradiente, el gradiente es perpendicular $-1/m$,, etc, etc).

Answer 4

Esto está relacionado de una manera interesante el método de la Gradiente de la pendiente:

• ¿Por qué es que si usted se encuentra en un 2D-plano inclinado por una pendiente de $a$ en la $x$-dirección y una pendiente de $b$ en la $y$-dirección, la más empinada cuesta arriba en dirección hacia la $(a,b)$?

No tengo idea de cómo iba a convencer a alguien sin entrar en por lo menos algunos de los matemáticos más detalles, pero desde mi punto de vista tengo las siguientes razones:

1. Si uno se mueve perpendicular a la $v=(5,7)$ vector, que sería hacia la $\hat v=(-7,5)$ , no obtendrá puntuación de cero a partir de la expresión $5x+7y$. Simplemente tenemos $5\cdot(-7)+7\cdot 5=0$.
2. Cualquier dirección puede ser descompuesto en dos partes en los términos de las dos direcciones perpendiculares $v=(5,7)$ e $\hat v=(-7,5)$, y sólo la parte en la dirección de la $v$ va a aumentar la puntuación.

Buena suerte romper esta abajo y viene con una representación visual de la misma. Estoy seguro de que se puede hacer, pero estoy menos seguro de cómo se podría omitir cualquiera de los no-intuitivo detalles.

---

Al menos se puede decir que la parte de "algunos de dirección" que apunta en la dirección de $v$ es más corto que "algunos de dirección" en sí mismo, y así se logra el mismo resultado al atravesar una distancia más corta. La línea roja punteada representa la parte de "una dirección" no contribuyen a la puntuación.

Answer 5

Considere la posibilidad de la iso-$S$ curvas, es decir, las combinaciones de $x$ e $y$ dando la misma cantidad.

Si usted incremento $x$ por $7$, vas a tener que disminuir el $y$ por $5$ a garantizar el status quo. Como esto es verdad lo $x,y$, el iso-$S$ son líneas rectas de dirección $(7,-5)$.

Ahora debe quedar claro que la solución óptima se encuentra en la iso-$S$ que es tangente al círculo.

Y como tangente en un punto es perpendicular al radio correspondiente, el punto de contacto se encuentra en la dirección perpendicular. Rotar el vector $(7,-5)$ conseguir $(5,7)$, dando la pendiente de la perpendicular.