Las esferas provocan contradicciones en las dimensiones $10$ ¿y más?

Question

Según esto Vídeo de numerófilos Si se empaquetan las hiperesferas en una hipercaja y se calcula el radio de la hiperesfera más grande que podría caber en el espacio restante, la hiperesfera resultante superaría de algún modo los límites de la caja que contenía todas las hiperesferas (donde el número de dimensiones es mayor o igual a 10).

¿Una contradicción lógica no se considera generalmente una refutación de algo?

¿No sería esto refutar la fórmula generalizada que se utiliza para encontrar el radio de la esfera resultante en n dimensiones?

¿Es posible que los matemáticos simplemente no entiendan la geometría extradimensional y sus reglas inherentes?

Answer 1

No. Sólo significa que el empaquetamiento (hiper)cúbico de esferas (donde los centros de las esferas se colocan en una cuadrícula cúbica, digamos esferas con radio $\frac12$ centrado en cada punto con coordenadas cartesianas enteras) es muy ineficiente en dimensiones superiores, y el espacio entre las esferas se hace lo suficientemente grande como para que quepan esferas aún más grandes.

¿Contraintuitivo? Sí, pero sobre todo porque somos seres de dimensiones relativamente bajas con una imaginación limitada. ¿Paradoja o contradicción? No.

Answer 2

En el vídeo, obtienen una esfera demasiado grande para caber en el cubo porque no buscaban una esfera que cupiera dentro del cubo, sólo buscaban una esfera que cupiera entre las otras esferas.

Si se requiere que la esfera central también tenga que encajar dentro del cubo original, así como encajar entre las esferas de las esquinas, entonces una vez que se supera la dimensión $4$ la esfera central ya no tocará las esferas de las esquinas. Habrá huecos entre la esfera central y las demás.

Es decir, en $5$ o más dimensiones, si la esfera central es lo suficientemente pequeña para caber dentro de la caja es demasiado pequeña para tocar todas las esferas de las esquinas a la vez; si la haces lo suficientemente grande como para tocar todas las esferas de las esquinas a la vez, entonces, por supuesto, es demasiado grande para caber entre los lados de la caja.

Todo es resultado del hecho (posiblemente contraintuitivo) de que en $5$ o más dimensiones, si empiezas en el centro de un hipercubo tienes que viajar más lejos para llegar a una de las "esferas de la esquina" que para llegar a uno de los lados del hipercubo.

Answer 3

Piénsalo de otra manera. Las hiperesferas tienen el tamaño que esperas, pero la hipercaja es mucho, mucho más grande de lo que esperas.

Un círculo de 1 m de diámetro en un cuadrado tiene 4 pirámides (bueno, triángulos), cada una con una altura de unos 0,207 m.

Una esfera de 1 m en un cubo tiene 8 pirámides, cada una con una altura de aproximadamente 0,366 m

Una esfera de 1 m en un cubo de 10 tiene 1024 pirámides, cada una de ellas con una altura de 1,081 m, es decir, más larga que la arista del cubo.

Ahora imagina un cubo de 10 metros de lado lleno de 1024 de esas 10 esferas. Entre las 10 esferas hay un vacío de 2,162 m de ancho en el que cabe una hiperesfera de 2,162 m de diámetro. Parece que no es así, pero resulta natural a medida que se aumentan las dimensiones.

Answer 4

Simplemente tome un $n$ -hipercubo de tamaño 2 centrado en el origen. Tomemos además hiperbolas de radio unitario centradas en cada uno de sus vértices. Entonces, evidentemente, se tocarán por construcción.

Por Pitágoras la distancia desde el origen, es decir, desde el centro del cuerpo de ese hipercubo, hacia cualquiera de sus vértices resulta ser $$\sqrt{1^2+1^2+...+1^2}=\sqrt{n}$$

En consecuencia, una hiperbola, centrada en el origen y que toca esas hiperbolas unitarias centradas en las esquinas, debe tener un radio de $$\sqrt{n}-1$$ Pero ese número es claramente mayor que $1$ que, a su vez, es claramente el radio de la bola interior de ese hipercubo, en cuanto $n>4$ . - Es toda esa magia contraintuitiva.

--- rk