Lo que se puede inferir a partir de la observación de un dominio de color gráfica de una función compleja?

Question

Funciones de $\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ son difíciles de visualizar debido a sus 4 dimensiones de la naturaleza. Una buena manera de verlos es por lo que se denomina dominio de colorear. Un ejemplo de la wiki, en el artículo se muestra a continuación.

Cuando nos fijamos en la gráfica de una función real ($\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$), se puede obtener una idea de algunas de las función de las propiedades de: donde sus ceros son, si es continua, si es diferenciable, etc.

Mi pregunta es ¿qué tipo de propiedades de funciones complejas que podemos "ver" mirando un dominio para colorear? En el siguiente ejemplo, es evidente que se puede ver donde los ceros y donde se explota. Me pregunto, ¿podemos decir si una función es analítica? Una función racional? Podemos calcular una integral como podríamos mirar un gráfico real?

$f(z) = \frac{(z^2 − 1)(z − 2 − i)^2}{(z^2 + 2 + 2i)}$

Answer 1

Hans Lundmark las páginas de dominio para colorear, y su página en la Elíptica funciones es un buen lugar para empezar. (Picard, gran teoremas, Lucas teorema de Weierstrass $\wp$ función)

No creo que podemos ver que una función es racional -- solo el movimiento de las raíces de la función para la que se han mostrado anteriormente por $\pi/100$ en direcciones aleatorias sería suficiente para hacer no es una función racional, pero la imagen sería más o menos el mismo aspecto.

Answer 2

Véase también la Fase de Parcelas de una Función Compleja: Un Viaje en la Ilustración y el libro "la Visualización de Funciones Complejas", que es una expansión de ese papel.

La fase de una analítica de la función únicamente determina la función, hasta una constante positiva del factor de escala. Matemáticamente, se puede determinar la función de módulo constante. Algunas ideas podrían no ser psicológicamente realista que son teóricamente posibles.

Usted puede decir la diferencia entre un cero y un polo por la dirección en la que los colores giran alrededor del punto. Y se puede saber el orden de cero o poste, de cómo muchas veces los colores completar un ciclo alrededor del punto.

Si una función no es analítica, usted puede ser capaz de decir que a partir de la fase de la parcela.

Answer 3

En mi humilde opinión, de análisis de la imagen después de la transformación que se debe saber de la imagen y coordenadas de antes de la transformación. Por ejemplo, 2 diferentes imágenes iniciales :

sistema de coordenadas cartesiano antes :

cuadrícula polar antes de

y después de la transformación ( Moebius )

cartesiano después de :

polar después de :

Uno puede utilizar la imagen inicial en la que destaca el de futuros, los cuales son importantes y ver cómo cambian después de la transformación.

HTH