En cuanto a la supuesta prueba de la hipótesis de Riemann de Atiyah, mi pregunta es ¿cuál es la función de Todd que parece ser muy importante en la prueba de la hipótesis de Riemann?
Respuesta
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T_M
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Si bien puede ser una interesante cuestión acerca de lo que los viejos matemáticas que Atiyah referencias, vale la pena señalar lo que Atiyah realmente dice acerca de la función de $T$:
$T : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ (esto es, en la Sección 3.4 de la más larga de papel "La Constante de Estructura Fina".
$T$ es "real" (véase el apartado 2.2 del documento más "La Hipótesis de Riemann" - no significa "valor real").
$T(1) = 1$ (2.3 del documento más "La Hipótesis de Riemann").
En cualquier compacto, conjunto convexo $K$, $T$ es un polinomio de un grado y el grado es, en principio, permite a depender del conjunto de $K$ (esto es, en el comienzo de la Sección 2)
- Si $f$ e $g$ son de alimentación de la serie sin término constante, a continuación, $$ T\Bigl( 1 + f(s) + g(s) + f(s)g(s)\Bigr) = T\Bigl(1 + f(s) + g(s)\Bigr) $$ (esta es la 2.6 de documento más).
La siguiente prueba es de un Redditor: Set $f(s) = e^s - 1$ e $g(s) = 1 - e^s$. Punto 5. implica entonces que $$ T\Bigl( 1 + e^s - 1 + 1 - e^s + (e^s - 1)(1 - e^s)\Bigr) = T(1) $$ es decir, (usando 3.): $$ T\Bigl( e^s(2-e^s,))\Bigr) = 1. $$ Ahora observe que la función de $e^s(2-e^s)\rvert_{\mathbb{R}}$ toma cualquier valor en $(-\infty,1)$. Para ver esta afirmación puede resolver $$ e^x(2-e^x) = y\ \Leftrightarrow e^{2x} - 2e^x + y = 0 $$ por medio de la fórmula cuadrática y tomando logaritmos para obtener una solución real al $y < 1$. Esto demuestra que $T\rvert_{(-\infty,1)}$ es constante.
OK, así que ahora toma un compacto conjunto convexo $K \subset \{ \mathrm{Re}(z) < 1\}$ que contiene un intervalo de la recta real, es decir, $K$ contiene un subinterval $I$ de $(-\infty,1)$. A partir de las propiedades 2. y 4. sabemos que $T\rvert_K$ es un polinomio con coeficientes reales. Pero también sabemos que es constante en $I$ lo que significa que $T \rvert_K$ es constante.
Desde $K$ era arbitraria, podemos fácilmente de escape$ \{ \mathrm{Re}(z) < 1\}$ compacto, conjuntos convexos para mostrar que $T$ es constante en $\{ \mathrm{Re}(z) < 1\}$, en particular, esto incluye la crítica de la tira.
