Invariantes de Forma de Conexión

Question

Estoy un poco se va a "en un limbo" aquí, ya que yo soy mucho más arraigado en la física lado de las cosas que yo en matemáticas. No obstante, me pregunto si alguien es capaz de comentar lo siguiente : dada una forma de conexión definido en un diferencial de colector, se puede derivar una tensorial invariante de esto, la curvatura de la forma. Si hay una soldadura de forma presente, también se puede definir de torsión como un invariante de la forma de conexión.

Mi pregunta es - ¿hay alguna invariantes otros de la curvatura y la torsión que puede ser derivado de una conexión en una variedad diferenciable? Mi interés aquí es de nuevo motivado por la física, específicamente la teoría de la gravitación; aquí, por medio de la torsión libre de Levi-Civita de conexión nos dará GR, y permitiendo de torsión en la imagen nos dará Einstein-Cartan de la gravedad. Para mí, esto plantea la cuestión de si - matemáticamente hablando - hay otras opciones basadas en otro tipo de conexión invariantes que no soy consciente de.

Te pido disculpas si la pregunta resulta ser sin sentido - no soy un matemático, y no fue inmediatamente capaz de encontrar respuestas definitivas a través de una búsqueda en Google.

Answer 1

Hay otros invariantes otros de curvatura o de torsión que puede ser derivado de una conexión en una variedad diferenciable?

El $n$th Chern número $c_n$ de un colector es un invariante topológico. Por ejemplo,

$$c_1=\frac{i}{2\pi}\int_{M} \, \mathrm{Tr}[\mathcal{R}]$$

donde $\mathcal{R}$ es la curvatura $2$-forma. Técnicamente, se trata de otra cantidad, aunque es un derivado de la curvatura. Aunque, el hecho de que $c_1$ es topológico, y no sólo geométricas invariantes no es inmediatamente obvio de la expresión. Si tengo que interpretar su "invariancia" como la invariancia bajo $\mathrm{Diff}(M)$, luego escalares construido a partir de los tensores a través de las contracciones, tales como,$^{\dagger}$

$$R^a_{bcd}R^{b}_{a}R^{cd}$$

son invariantes. Otro ejemplo, la interpretación de 'permanencia' como la invariancia topológica, es el de Chern-Simons plazo (utilizado en la teoría cuántica de campos topológica),

$$S=\frac{k}{4\pi}\int_M \, \mathrm{Tr}\left[ A \wedge dA + A\wedge A \wedge A\right]$$

que cumpla con sus requisitos como $A$ es un medidor de campo, y una conexión en un paquete de un colector. Hay muchos otros ejemplos de los diferentes tipos de invariantes, tu pregunta es muy amplia y poco definida.

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$\dagger$ La razón por la que comprobar la curvatura de escalares a ver si nuestro espacio verdaderamente posee una singularidad es precisamente porque son invariantes bajo transformaciones de coordenadas, y sabemos inadecuada coordenadas puede conducir a la métrica de ser singular cuando el espacio no es.