Mi intento de mostrar la canónica de incrustación $c_0\rightarrow c_0^{**}$ no es surjective?

Question

Quiero mostrar a $c_0$ no es reflexiva, mostrando a la canónica de incrustación $c_0\rightarrow c_0^{**}$ no es surjective.

Vi una referencia dijo: desde la inclusión del mapa de $c_0\rightarrow\ell_\infty$ no es surjective, la canónica de incrustación $c_0\rightarrow {c_0}^{**}$ no es surjective.

Sé $c_0$ es un cerrado lineal subespacio de $\ell_\infty$${c_0}^{**}\cong{\ell_1}^*\cong\ell_\infty$. Pero, ¿cómo canónica de la incrustación está relacionado con la inclusión del mapa de $c_0\rightarrow\ell_\infty$?

Y mi intento es: desde ${c_0}^{**}\cong{\ell_1}^*\cong\ell_\infty$, existe un bijection $T:\ell_\infty\rightarrow {c_0}^{**}$. Entonces tienen la misma cardinalidad. Desde $c_0\rightarrow\ell_\infty$ no es surjective, la cardinalidad de a $c_0$ es de menos de $\ell_\infty$ y por lo tanto menos de ${c_0}^{**}$. Por lo tanto canónica de la incrustación $c_0\rightarrow {c_0}^{**}$ no es surjective. Pero no estoy seguro de que es cierto y siento que he perdido algo.

Puede alguien darme una precisión de la prueba mediante el uso de la referencia idea? Gracias!

Answer 1

Usted tiene que utilizar lo que el canónica de la incrustación de los medios. Y, que se puede identificar a $c_0^*$$\ell_1$.

Si $a\in c_0$, lo ve como un elemento de $c_0^{**}$ través $\hat a(b)=b(a)$, para cada una de las $b\in\ell_1$. Es decir, $$ \hat(b)=\sum_na_nb_n. $$ Esta es precisamente la dualidad $\ell_\infty=\ell_1^*$. En otras palabras, si usted está trabajando con las caracterizaciones $c_0^*=\ell_1$, e $\ell_1^*=\ell_\infty$, luego de la canónica de la incorporación de la $c_0$ $c_0^{**}$ es, precisamente, la incrustación $c_0\subset\ell_\infty$.