Sé que si $X$ es un topológico de Hausdorff espacio y $A$ es compacto en $X$, $A$ es cerrado en $X$. Mi pregunta es que si $A$ es un conjunto cerrado en $X$ (donde $X$ es Hausdorff), ¿qué condición adicional es necesaria para asegurar que $A$ es compacto en $X$?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Que realmente no hay mucho que se puede decir en general: de esto depende mucho el espacio de Hausdorff $X$. Algunos ejemplos:
Si $X$ es compacto, entonces todo subconjunto cerrado de $X$ es compacto.
Si $X$ $\mathbb{R}^n$ algunos $n$, un subconjunto cerrado de $X$ es compacto si y sólo si está delimitada en el habitual métrica.
Si $X$ es un espacio infinito con la topología discreta, un subconjunto cerrado de $X$ es compacto si y sólo si es finito.
Si $X$ es el espacio $\omega_1$ de los contables de los números ordinales con el fin de topología, un subconjunto cerrado de $X$ es compacto si y sólo si es contable.
Si $X$ es la línea de Sorgenfrey, cada subconjunto compacto de $X$ es contable, sino $X$ ha cerrado subconjuntos, incluso limitada, que no son compactos, por ejemplo,, $A=\{1\}\cup\{1-2^{-n}:n\in\omega\}$: $\{[1-2^{-n},1-2^{1-n}):n\in\omega\}\cup\{[1,2)\}$ es una cubierta abierta de a $A$ sin finito subcover.
h.l.m
Puntos
117
Brian ya ha dado muchos ejemplos explicando que la compacidad de $A$ depende fuertemente de las propiedades del espacio de Hausdorff $X$. Vale la pena agregar a su lista de la siguiente forma:
Deje $(X,\rho)$ ser un espacio métrico (así Hausdorff) y $A\subseteq X$. A continuación, $A$ es compacto si y sólo si $A$ es completo y totalmente acotado.
Este es uno de los más importantes personajes de subconjuntos compactos de espacios métricos.
Muchas propiedades interesantes y otras caracterizaciones que usted puede encontrar en el artículo de la Wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Compact_space
