PDF de una distribución con un parámetro de sintonización

Question

He estado pensando acerca de cómo abordar este problema por un tiempo, y aún parece un poco oscuro para mí. Yo realmente apreciaría una respuesta detallada con la Prueba correspondiente. Yo trato de describir claramente lo siguiente:

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Parte A:

En la Figura (a) (Ver más abajo), $X$ es distribuido uniformemente en el círculo más pequeño. Entiendo que el pdf es $f(x)= \dfrac{2 x}{r^2}$. Vamos a llamar a este Caso 1.

Ahora, digamos que modificar esta distribución, a las que llamamos "nuevo reparto" con un "ajuste de factor," yo.e para $0 \leq f < 2$, el pdf se convierte en

$$\frac{(2- f) r^{1-f}}{R^{2-f}}.$$

Tenga en cuenta que con $f=0$ tenemos el mismo pdf como en el Caso 1.

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La Parte B

En la Figura (b), $X$ obedece a una distribución uniforme en la región sombreada y $S$ es el área de la región sombreada. $\ell(r)$ es la longitud del arco $BPQ$. Puntos de $A$ $B$ son los centros de los círculos en intersección con el mismo radios, respectivamente.

La distancia entre el punto de $A$ $X$obedece a $0 < r \leq R$.

Sé el pdf de $r$, es decir,$f(r)$, está dada por $\dfrac{\ell(r)}{S}$, que comprendo claramente a partir de esta pregunta.

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Mi Pregunta:

¿Cómo funciona el pdf $f(r)$ cambio con la nueva distribución en la Parte a? En otras palabras, ¿cuál es el nuevo pdf dada el área sombreada en la Figura (b) y sus expectativas?

Answer 1

$\def\d{\mathrm{d}}\def\peq{\mathrel{\phantom{=}}{}}$Aquí es una respuesta basada en una interpretación posible de la cuestión. Indicar el factor de optimización por $c$ lugar.

En primer lugar, aplicar ingeniería inversa a partir de la modificación de la densidad de $r$ en el Caso 1, la densidad del punto de $X$ puede ser asumido como$$ f_1(x_1, x_2) = \begin{cases} \dfrac{2 - c}{2π R^{2 - c}} \dfrac{1}{(x_1^2 + x_2^2)^{\frac{c}{2}}}; & x_1^2 + x_2^2 < R^2\\ 0; & \text{otherwise} \end{casos} $$

Ahora para el Caso 2, supongamos que el origen es $A$. Suponga que $X$ por encima de la densidad condicionada a que el área sombreada $S$. Porque en el Caso 1,$$ p := P(X \in S) = \iint\limits_{(x_1 - R)^2 + x_2^2 < R^2} f_1(x_1, x_2) \,\d x_1\d x_2, $$ entonces la densidad de $X$ en el Caso 2 es$$ f_2(x_1, x_2) = \begin{cases} \dfrac{1}{p} f_1(x_1, x_2); & (x_1 - R)^2 + x_2^2 < R^2\\ 0; & \text{otherwise} \end{casos} $$ Por lo tanto la distribución de $r$ en el Caso 2 es\begin{align*} &\peq F_r(r_0) = P(\|X\| \leqslant r_0)\\ &= \iint\limits_{x_1^2 + x_2^2 \leqslant r_0^2} f_2(x_1, x_2) \,\d x_1\d x_2 = \iint\limits_{\substack{r \leqslant r_0\\-π < θ \leqslant π}} f_2(r \cos θ, r \sin θ) r\,\d r\d θ\\ &= \int_0^{r_0} r\,\d r \int_{-π}^π f_2(r \cos θ, r \sin θ) \,\d θ = \int_0^{r_0} r\,\d r \int\limits_{r < 2R \cos θ} f_1(r \cos θ, r \sin θ) \,\d θ\\ &= \frac{1}{p} \int_0^{r_0} r\,\d r \int_{-\arccos \frac{r}{2R}}^{\arccos \frac{r}{2R}} f_1(r \cos θ, r \sin θ) \,\d θ = \frac{1}{p} \int_0^{r_0} r\,\d r \int_{-\arccos \frac{r}{2R}}^{\arccos \frac{r}{2R}} \frac{2 - c}{2π R^{2 - c}} \frac{1}{r^c} \,\d θ\\ &= \frac{1}{p} \int_0^{r_0} r · 2\arccos \frac{r}{2R} · \frac{2 - c}{2π R^{2 - c}} \frac{1}{r^c} \,\d r = \frac{2}{p} · \frac{2 - c}{2π R^{2 - c}} \int_0^{r_0} r^{1 - c} \arccos \frac{r}{2R} \,\d r, \end{align*} lo que implica que la densidad es de$$ f_r(r_0) = \frac{1}{p} · \frac{2 - c}{π R^{2 - c}} · r_0^{1 - c} \arccos \frac{r_0}{2R}. \quad \forall 0 < r_0 < R $$

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Para el caso de degeneración $c = 0$, ya que, por definición,$$ p = P(X \in S) = \iint\limits_{(x_1 - R)^2 + x_2^2 < R^2} f_1(x_1, x_2) \,\d x_1\d x_2 = \iint\limits_{(x_1 - R)^2 + x_2^2 < R^2} \frac{1}{nR^2} \,\d x_1\d x_2 = \frac{|C|}{nR^2}, $$ entonces$$ f_r(r_0) = \frac{1}{p} · \frac{2}{pi R^2} · r_0 \arccos \frac{r_0}{2R} = \frac{2r_0}{|C|} \arccos \frac{r_0}{2R}. $$

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Para $c = 0.5$,$$ f_r(r) = \frac{1}{p} · \frac{1.5}{π R^{1.5}} · \sqrt{r_0} \arccos \frac{r_0}{2R}. \quad \forall 0 < r_0 < R $$ Aquí está una figura de $f_r$$F_r$: