Cuántas soluciones dentro de un círculo unitario $|z| < 1$ hace la ecuación $(1 + z)^{n + m} = z^n$ tienen para $z$ complejo, y $n$ , $m$ ¿números enteros positivos?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
lhf
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He aquí algunas soluciones parciales, encontradas empíricamente con Wolfram Alpha :
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Para $n=0$ Hay $2k-1$ soluciones para $m \in [6k-5,6k+0]$ .
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Para $n=1$ Hay $2k+0$ soluciones para $m \in [6k-4,6k+1]$ .
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Para $n=2$ Hay $2k+1$ soluciones para $m \in [6k-3,6k+2]$ .
Basándome en esto, diría que son $2k+n-1$ soluciones para $m \in [6k-5+n,6k+n]$ .
Esto da $2\left\lfloor \dfrac{m-n}{6} \right\rfloor +n -1$ soluciones en el caso general.
Me encantaría ver una prueba.
