La prueba de que $x^3+y^4=z^{31}$ tiene una infinidad de soluciones

Question

Esta es una pregunta de RMO 2015.

Mostrar que hay infinitamente muchos triples (x,y,z) de números enteros tales que a $x^3+y^4=z^{31}.$

Esto es cómo hice mi prueba: Supongamos $z=0,$, con lo cual es posible debido a que $0$ es un número entero. A continuación, $x^3+y^4=0 \Rightarrow y^4=-x^3.$ Ahora, supongamos $y$ es un cubo perfecto de tal manera que es de la forma $a^3$ donde $a$ es cualquier entero. A continuación, $(a^3)^4=-x^3 \Rightarrow a^{12}=-x^3,$ cual $x=-(-a)^4.$ por lo tanto, no existe una infinidad de triples {x,y,z}={$-(-a)^4, a^3, 0$}, que satisfacer $x^3+y^4=z^{31}$ para cada entero $a$.

Sin embargo, la solución que han dado es bastante diferente de la mía. Lo que quiero saber es que, es mi solución válida, y es esta una convincente método para hacer pruebas de este tipo?

Gracias de antemano!

Answer 1

Aquí es una forma de obtener positivo entero de soluciones.

Deje $n$ ser cualquier entero positivo tal que $$3\mid n \quad \quad 4\mid n \quad \quad 31 \mid (n+1)$$ Hay infinitamente muchos de esos $n$ Chinos Reminader Teorema, entonces $x^3 = 2^n$, $y^4 = 2^n$, $z^{31} = 2^{n+1}$ satisface $x^3+y^4=z^{31}$.

Answer 2

Una pequeña variación en la 'oficial' solución: en lugar de probar que la ecuación de $12r+1=31k$ tiene infinitamente muchos enteros positivos soluciones que podemos encontrar uno en particular, vamos a decir $k=7,r=18$; de ello se sigue que $x=2^{4\cdot 18},y=2^{3\cdot 18},z=2^7$ es una solución particular de la ecuación y a partir de aquí es fácil notar que $$x=2^{4\cdot 18}\cdot k^{4\cdot 31},y=2^{3\cdot 18}\cdot k^{3\cdot 31},z=2^{7}\cdot k^{3\cdot 4}$$ también es una solución para la ecuación dada, para cualquier entero positivo $k$.

Answer 3

Pequeños cambios para que un problema pueda cambiar la solución. El problema era mostrar que hay infinitamente muchos enteros positivos soluciones.

Vea aquí.

Answer 4

Esta es la solución que le dio...

Elija $x = 2^{4r}$$y = 2^{3r}$. A continuación, el lado izquierdo es $2^{12r+1}$. Si tomamos$ z = 2^k$, a continuación, llegamos$ 2^{12r+1} = 2^{31k}$. Por lo tanto es suficiente para demostrar que la ecuación 12r + 1 = 31k tiene una infinidad de soluciones en números enteros. Observar que$ (12.18) + 1 = 31.7$. Si elegimos $r = 31l + 18$ $k = 12l + 7$ , obtenemos $12(31l + 18) + 1 = 31(12l + 7)$; para todos los$ l$. La elección de $l\in N$, podemos obtener infinidad de$ r = 31l + 18$$ k = 12l + 7$ tal que $12r + 1 = 31k$. Volviendo tenemos infinidad de (x; y; z) de números enteros satisfacer el dado de la ecuación.